Exp(x) = cos(x)

par **wiks** » 20 Juil 2009, 13:25

Bonjour,

J'aimerais trouver une solution a l'equation

exp(x) = cos(x)

Pouvez vous m'aider svp?

par **_-Gaara-_** » 20 Juil 2009, 13:31

Bonjour !

bon tu veux une solution, il y a x=0 :briques:

par **sky-mars** » 20 Juil 2009, 13:57

mdrrrr d'où il sort cette équation xD
Tu cherche des solutions sur quels intervalles ?
Car sur

y'en a une infinité ou plutôt

par **_-Gaara-_** » 20 Juil 2009, 14:26

je suis d'accord :biere:

par **wiks** » 20 Juil 2009, 15:51

Je suis tombe sur une equation similiare dans le cadre de la resolution de l'hypothese de Riemann.

En effet il y a une infinite de solution sur R. Idealement j'aimerais trouve une formule explicite pour toute les solutions mais je serais deja content d'avoir les solution sur -4pi,0.

aidez moi! merci

par **sky-mars** » 20 Juil 2009, 15:57

je pense qu'il faut faire une résolution numérique et qu'il n'y a rien en analytique....
sur l'intervalle

on a :
x

{-4.72129,-1.2927,0}

par **Timothé Lefebvre** » 21 Juil 2009, 05:24

Yop, desole d'etre en HS total mais sky-mars c'est une image issue d'une apps iPhone que tu mets la ? Si oui peux-tu m'en donner le nom ? Je te remercie :)

par **sky-mars** » 21 Juil 2009, 07:37

Salut Tim =)
En effet c'est une apps pour Iphone et l'application s'appelle Quick Graph elle trace les courbes dans le plan en coordonnée cartésienne ou polaire et des surfaces en 3D en cartésien, sphérique ou cylindrique et elle coute 0

^^ très pratique quand même

par **Timothé Lefebvre** » 21 Juil 2009, 16:12

Ah niice ! Merci bien je la charge tout de suite ;)

par **wiks** » 23 Juil 2009, 23:52

sky-mars a écrit:je pense qu'il faut faire une résolution numérique et qu'il n'y a rien en analytique....
sur l'intervalleon a :
x{-4.72129,-1.2927,0}

Dans ce cas est-il sufisant mathematiquement parlant, de dire qu'il y a une infinite de solution sr R negatif, nous sommes sur qu'elle existent et on peut en theorie les approcher infiniment avec une methode numerique.
On pourrais alors denoter toute ces solution comment x = f(k) k un entier ou qqch coomme ca et puis continer nos recherche en ademettant ques ces solutions sont connues...

par **muse** » 24 Juil 2009, 03:46

Je suis pas sur d'avoir copris la question mais si j'ai compris la réponse est oui :)
Le probleme est que quand tu donnes une tel equation a un programme il faut aussi donner l'intervalle ou alors un point de depart (dans ce dernier cas tu as aucun controle sur l'intervalle) donc il faut savoir ou tu veux avoir ta solution.

par **JJa** » 24 Juil 2009, 15:16

Bonjour,

On peut trouver des formules, sous forme de séries, qui donnent les solutions avec autant de précision que l'on veut.
En effet, on sait que les racines de l'équation sont d'autant plus proches de x = -(k+(1/2))*pi que k est grand.
(ceci résultant du fait que les racines sont voisines de celles de l'équation cos(x)=0 pour x<<0 puisque l'exponentielle est d'autant plus proche de zéro que k est grand),
Il suffit alors de faire des développements en série au voisinage de ces valeurs, c'est à dire de rechercher les racines sous la forme :
x = -(k+(1/2))*pi + t , avec t petit
L'équation cos(x) = exp(x) devient :
u*sin(t) = exp(t) avec u = constante :
avec u = ((-1)^k)*exp(-(k+(1/2))*pi )
ce qui simplifie beaucoup le problème car on est ramené à un développement au voisinage de zéro, quelle que soit la racine considérée (cette racine dépendant de k).
Le développement en série de Taylor, mais limitée au premier ordre, donne une première approximation :
t = u/(1-u) avec u = ((-1)^k)*exp(-(k+(1/2))*pi )
Les valeurs approximatives des racines sont alors obtenues par :
x = -(k+(1/2))*pi + u/(1-u) avec u = ((-1)^k)*exp(-(k+(1/2))*pi )
Néanmoins, la racine correspondant à k=0 reste encore peu précise. La précision s'améliore très rapidement pour k=1 puis k=2, etc.
Bien entendu, il est possible d'obtenir beaucoup mieux en ne se limitant pas à la première approximation.
Voici une formule qui donne toutes les racines (hormis la racine triviale x=0), avec une très grande précision (sauf pour k=0 où la précision reste un peu moins bonne) :
x = -(k+(1/2))*pi + t -(sin(t)-u*exp(t))/(cos(t)-u*exp(t))
avec u = ((-1)^k)*exp(-(k+(1/2))*pi ) et t = u/(1-u)
Pour k=0 on obtient : x = -1,292790.. ; cos(x) = 0,2744387.. ; exp(x ) = 0,274503..
Pour k=1 on obtient : x = -4,721292758847684.. ; cos(x) = 0,008903660818918.. ; exp(x ) = 0,00890366081892..
et pour les racines suivantes, k=2, k=3, etc... c'est encore mieux : l'égalité du cos et de l'exponentielle est obtenue sur tous les chiffres significatifs.

Exp(x) = cos(x)

exp(x) = cos(x)

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