équa. diff. d'ordre 3
Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
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theluckyluke
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par theluckyluke » 23 Juil 2009, 15:26
tu écris que la solution est en
et tu mets au cube. Donc
et ensuite tu trouves
et
.
En fait,
vérifie que
soit
.
Ensuite, tu conclus.
C'est bon où je dois plus expliciter?
D'ailleurs tu as déjà vu les nombres complexes en cours?
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egan
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par egan » 23 Juil 2009, 17:23
Je veux bien que tu détailles un peu plus comment on trouve r et théta.
Sinon oui j'ai finit la terminale, j'ai vu les complexes.
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Black Jack
par Black Jack » 24 Juil 2009, 10:03
egan a écrit:Je veux bien que tu détailles un peu plus comment on trouve r et théta.
Sinon oui j'ai finit la terminale, j'ai vu les complexes.
y³ = 1
r = |y³| = 1
y³ = 1*(cos(theta) + i.sin(theta))
en comparant à : y³ = 1 (soit à 1 + 0*i)
On a : cos(theta) = 1 et sin(theta) = 0
--> theta = 2k.Pi (avec k dans Z)
--> y³ = 1 * e^(i.2k.Pi)
y³ = e^(i.2k.Pi)
y = e^(i.2k.Pi/3)
k depuis 0 jusque 2 donnent les 3 solutions de y³ = 1 :
a)
k = 0
y1 = e^(0) = 1
b)
k = 1
y2 = e^(i.2.Pi/3)
y2 = cos(2.Pi/3) + i.sin(2.Pi/3)
y2 = -1/2 + ((V3)/2).i
c)
k = 2
y3 = e^(i.4.Pi/3)
y3 = cos(4.Pi/3) + i.sin(4.Pi/3)
y3 = -1/2 - ((V3)/2).i
:zen:
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egan
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par egan » 24 Juil 2009, 11:54
Merci beaucoup. ^^
Comment peut-on affirmer que k peut prendre les valeurs 0,1,2 ?
Par disjonction de cas, on peut y arriver non ? En montrant que quand k=3p, p dans Z, les solutions sont les mêmes et pareil pour 3p+1 et 3p+2.
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Black Jack
par Black Jack » 24 Juil 2009, 12:10
egan a écrit:Merci beaucoup. ^^
Comment peut-on affirmer que k peut prendre les valeurs 0,1,2 ?
L'équation est de dégré
3, il y a donc
3 solutions.
On peut démontrer que ces solutions sont déterminées par
3 valeurs successives de k.
On peut donc faire au plus simple et prendre k = 0, 1 et 2.
... Mais on peut tout aussi bien, par exemple, choisir k = 31256 , 31257 et 31258
... A part compliquer les calculs, cela revient au même, les solutions trouvées seront équivalentes.
:zen:
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theluckyluke
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par theluckyluke » 24 Juil 2009, 15:43
de toute façon, l'argument est défini modulo
donc tu retombes toujours sur les mêmes valeurs.
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