Familles libres / liées

[leon1789]

Est-ce que ce n'est pas pour que les formes multilinéaires antisymétriques soient alternées? Sinon c'est vrai que c'est étrange, il me semble bien qu'on ne met jamais "soit un corps de caractéristique différente de 2" dans les résultats sur le déterminant...

Oui c'est probablement ça : l'antisymétrie en caractéristique 2 ne signifie absolument rien, d'où une certaine "gêne" peut-être.
(Mais comme le déterminant est une forme alternée...)

[ffpower]

je n'avais pas vu ce fil,mais je dois dire que je suis d accord avec toi.J étais cette année moniteur de td en algebre lineaire pour des L1, et vu leur niveau général disons..moyen, il m'est presque indispensable d'expliquer la théorie par l'exemple(a cause malheureusement de la déchéance du programme qui tend a privilégier l algorithmie a la reflexion), et en ce sens il aurait été probablement plus aisé que j'explique d'abord qu'est ce qu'une famille liée en premier avec de petits exemples simples dans R² et R^3. J essaierai l année prochaine,si j ai le meme module..

[Zavonen]

En suivant les liens donnés par Zavonen dans d'autres discussions, je suis tombé sur cette page
http://gilles-dubois.developpez.com/Maths/algebre_lineaire/libres.html
où là on définit d'abord les familles liées, puis les familles libres.
Je trouve que c'est suffisamment rare pour être signalé. :id:

Préoccupation pédagogique uniquement. Rien à ajouter par rapport à ce qui a été dit après.

En revanche, sur le même site, on lit :

http://gilles-dubois.developpez.com/Maths/algebre_lineaire/defev.html
>
C'est étrange et je ne vois pas pourquoi (en algèbre linéaire ?).

Parce qu'en caractéristique 2 alterné et antisymétrique ce n'est plus la même chose.

http://gilles-dubois.developpez.com/Maths/algebre_lineaire/generateurs.html
où on ne définit que des systèmes générateurs uniquement finis.
Zavonen, si tu passes par là... :zen:

Cela ne coûte pas plus cher en dimension infinie, mais mes 'ambitions' se limitent ici à la dimension finie. Par ailleurs, en pratique, en dimension infinie, les systèmes générateurs sont d'un intérêt limité car leur cardinal est généralement élevé. Ce qui est intéressant ce sont les systèmes dénombrables dont les combinaisons linéaires forment un système dense.

[leon1789]

Préoccupation pédagogique uniquement. Rien à ajouter par rapport à ce qui a été dit après.

Nous sommes d'accord.

Parce qu'en caractéristique 2 alterné et antisymétrique ce n'est plus la même chose.

Oui, mais le déterminant est une forme multilinéaire alternée (quelle que soit la caractéristique), donc en particulier antisymétrique (ce qui est sans intérêt en caractéristique 2, ok, mais vrai quand même).

Cela ne coûte pas plus cher en dimension infinie, mais mes 'ambitions' se limitent ici à la dimension finie.

Tu ne dis pas que K[X] est un K-espace vectoriel engendré par les vecteurs ?

Cela étant, les familles génératrices infinies posent effectivement un petit problème pédagogique : il est toujours très tentant de considérer une combinaison linéaire infinie, ce qui est bien sûr une erreur dans un simple espace vectoriel.

Cela dit, ensuite, la proposition
>
parait un peu étrange puisque tout système générateur est fini.



--
Ca demande un "certain" temps pour réaliser ton site ... :++:

[leon1789]

en ce sens il aurait été probablement plus aisé que j'explique d'abord qu'est ce qu'une famille liée en premier avec de petits exemples simples dans R² et R^3. J essaierai l année prochaine,si j ai le meme module..

Je ne sais pas si tu sentiras une différence réelle... mais cela pourrait être intéressant de tenter le coup, pour voir... :zen:

[leon1789]

Préoccupation pédagogique uniquement. Rien à ajouter par rapport à ce qui a été dit après.

Nous sommes d'accord.

Parce qu'en caractéristique 2 alterné et antisymétrique ce n'est plus la même chose.

Oui, mais le déterminant est une forme multilinéaire alternée (quelle que soit la caractéristique), donc en particulier antisymétrique (ce qui est sans intérêt en caractéristique 2, ok, mais vrai quand même).

Cela ne coûte pas plus cher en dimension infinie, mais mes 'ambitions' se limitent ici à la dimension finie.

Tu ne dis pas que K[X] est un K-espace vectoriel engendré par les vecteurs ?

Cela étant, les familles génératrices infinies posent effectivement un petit problème pédagogique : il est toujours très tentant de considérer une combinaison linéaire infinie, ce qui est bien sûr une erreur dans un simple espace vectoriel.

Cela dit, ensuite, la proposition
>
parait un peu étrange puisque tout système générateur est fini.



--
Ca demande un "certain" temps pour réaliser ton site ... :++:

[Zavonen]

Cela dit, ensuite, la proposition > parait un peu étrange puisque tout système générateur est fini.

Exact, quand on veut être réducteur on se prend forcément les pieds dans son propre piège. En tout cas, heureusement ce n'est "qu'étrange" ce n'est pas contradictoire.
Mais effectivement je vais peut-être revoir la def des systèmes générateurs.
Cela prend beaucoup de temps de rédiger du 'html' pur.
Chaque module me prend environ 6 mois, mais je ne peux y travailler à plein temps, c'est trop 'saoulant'.

[skilveg]

Oui, mais le déterminant est une forme multilinéaire alternée (quelle que soit la caractéristique), donc en particulier antisymétrique (ce qui est sans intérêt en caractéristique 2, ok, mais vrai quand même).

Sans intérêt... Il est symétrique, quoi.

[leon1789]

Exact, quand on veut être réducteur on se prend forcément les pieds dans son propre piège. En tout cas, heureusement ce n'est "qu'étrange" ce n'est pas contradictoire.

oui, ce n'est pas de gros problème :zen:

Sans intérêt... Il est symétrique, quoi.

oui, c'est vrai, il est tout de même symétrique. :zen:

[Zavonen]

Je viens de regarder un peu ce qui pouvait n'être pas satisfaisant dans mon exposé, et j'ai essayé de voir comment on pouvait changer les choses d'une part et quelles étaient mes motivations de l'époque (quand j'ai rédigé ce paragraphe). Je crois qu'il est urgent de ne rien faire.
De toutes façons les bizarreries apparaissent aux professionnels que vous êtes. Les lecteurs débutants à qui cela s'adresse ne feront sans doute pas ces remarques.
Mais il y a des raisons de fond.
Tout le monde veut arriver rapidement à la définition des bases à partir des notions de 'système libre' et de 'système générateur'. Et, bien sûr, on est pressé d'établir l'existence et l'unicité des coordonnées d'un vecteur dans une base, qui est le fondement même de l'algèbre linéaire.
Donc l'ordre des vecteurs a une importance puisque quand on intervertit les éléments d'une base, les coordonnées sont interverties de même.
A priori la notion de 'générateur' peut fort bien être développée à partir des parties de l'e.v. au sens ensembliste. La notion d'indexation est simplement un artifice commode pour écrire les combinaisons linéaires. On peut de même définir des 'parties libres' toujours au sens ensembliste, ce n'est pas immédiat mais pas difficile. Cependant quand on veut définir les bases par conjonction de ces deux propriétés on est coincé si on a procédé ainsi.
Il faut donc d'entrée privilégier la notion de 'système' au sens large.
Si l'on veut englober la dimension infinie, pas d'autre ressource que d'utiliser d'entrée le formalisme adéquat: un système c'est une application d'un ensemble éventuellement infini I dans l'ensemble des vecteurs E, donc un élément de E^I que l'on peut noter de façon purement fonctionnelle ou de façon un peu plus 'soft' (xi)i dans I à la manière des suites. Pas question pour moi d'utiliser un tel formalisme pour des débutants, d'autant plus qu'une définition correcte d'un système libre entraîne la considération de tous les sous-systèmes finis d'un système donné, etc...C'est l'arbre qui va cacher la forêt.
Au contraire, ne considérer au début que des systèmes finis qui sont des n-uples donc un tout petit peu plus que des couples, présente des avantages indéniables du point de vue de la représentation mentale pour des lecteurs 'pré-bourbakisants'.
Ma définition: "On dit qu'un système S=(u1,u2,....,un) est 'générateur'" n'est pas réductrice le qualificatif 'générateur' s'applique à certains systèmes finis, soit, mais rien ne dit que d'autres systèmes ne peuvent pas être également qualifiés de 'générateurs'.
La seule chose qui pourrait être faite pour améliorer les choses est de passer ensuite à la définition de systèmes 'quelconques' et à l'extension 'naturelle' des définitions, chose que je n'ai pas l'intention de faire au niveau de cet exposé, finalement très axé sur les questions pratiques de résolution des systèmes.

[leon1789]

(...)

Ce que vous dîtes se comprends très bien.

On peut de même définir des 'parties libres' toujours au sens ensembliste, ce n'est pas immédiat mais pas difficile.

Justement, pour en revenir au sujet de ce fil, avez-vous un avis sur cette approche (définitions destinées également à des débutants) :

>

Pour moi, les avantages cette formulation sont
-- la rapidité de l'énoncé (seulement deux phrases) ;
-- le caractère assez intuitif (pas d'implication, pas de négation d'implication),
-- le cadre général (la famille peut être vide, singleton, ou infinie !)

...le troisième point faisant la différence avec votre approche http://gilles-dubois.developpez.com/Maths/algebre_lineaire/libres.html

[Zavonen]

Pour moi, les avantages cette formulation sont -- la rapidité de l'énoncé (seulement deux phrases) ; -- le caractère assez intuitif (pas d'implication, pas de négation d'implication), -- le cadre général (la famille peut être vide, singleton, ou infinie !)

Je suis d'accord avec çà.
Seule restriction (voir post précédent) la notion de famille de vecteurs au sens large (évidente pour le mathématicien) beaucoup moins pour le néophyte.