Fraction rationnelle

[littlewoman95]

F=[(X²-X+1)²]/[X^3(X-1)^3]
Il me faut comparer F(X) et F(1-X) moi je trouve au final que le résultat est le même et de là, je dois en déduire les relations entre les coefficients de la décomposition de F en éléments simples.
Il me faut ensuite donner le DL2(0) de g(x)=(x²-x+1)²/(x-1)^3 et d'en déduire la décomposition en élément simple de lafraction F.
Seulement je n'y parvient pas du tout, pourriez vous m'aider svp

[isortoq]

F=[(X²-X+1)²]/[X^3(X-1)^3]
Il me faut comparer F(X) et F(1-X) moi je trouve au final que le résultat est le même et de là, je dois en déduire les relations entre les coefficients de la décomposition de F en éléments simples.
Il me faut ensuite donner le DL2(0) de g(x)=(x²-x+1)²/(x-1)^3 et d'en déduire la décomposition en élément simple de lafraction F.
Seulement je n'y parvient pas du tout, pourriez vous m'aider svp

Déjà tu as F(X) = F(1-X) ; ensuite la décomposition théorique de F en éléments simples est :

F(X)=a/X^3+b/X^2+c/X+d/(X-1)^3+e/(X-1)^2+f/(X-1).

Si tu remplaces X par 1-X, tu dois trouver la même décomposition (par unicité de la décomposition de F) et donc tu obtiens :

d=-a ; e=b ; f=-d

Pour g(x) assez facilement on trouve (et j'espère que j'ai pas fait d'erreurs de calculs...) :

g(x)=1-4x^2+3x^2+O(x^3)

et comme F(X) = g(X)/X^3 ça donne : a=1 ; b=-4 ; c=3.

Voilà !