Inégalité de Cauchy-Schwartz

[ludo56]

Bonjour,
je voudrais savoir si avec l'inégalité de C-S : || ||Ax|| ||x||,
on a que ||Ax|| est la plus petite constante k telle que :
|| k ||x|| ?
merci

[Zavonen]

Considère le cas où Ax est orthogonal à x.

[ludo56]

Dans le cas ou x et Ax sont orthogonaux alors ça implique que A est l'operateur nul.Dans ce cas,ce que j'affirme est vrai mais c'est qu'un exemple... Dans le cas général?

[kazeriahm]

non ce qui était demandé c'est ce qui se passe si pour un certain x, Ax est orthogonal à x.

Ta question est mal posée parce que ta constante k dépend de x, puis même (Ax,x) c'est un truc grosso modo en ||x||^2 donc ca peut pas être uniformément inférieur à un truic en ||x||

[ludo56]

D'accord je me suis mal exprimer..
Donc la question est: pour un x fixé (x appartient à H un Hilbert), alors ||Ax|| est t'elle la plus petite constante k telle que || <||Ax|| ||x|| ?

[Zavonen]

Dans le cas ou x et Ax sont orthogonaux alors ça implique que A est l'operateur nul.

Tiens donc ! La rotation d'angle pi/2 est l'opérateur nul ???

[kazeriahm]

mais ca a pas de sens de parler de plus petite constante pour des trucs qui sont pas des fonctions, puisque x est fixé.

La plus petite constante k telle que (Ax,x)<=k*||x||, bah c'est k=(Ax,x)/||x||. Genial. Puis si x=0 bah toutes les constantes marchent

[ludo56]

Oui bon d'accord c'est sur que si je donne que la moitié des hypothèses on va pas etre d'accord :briques: :briques:
Mes operateurs sont tous hermitiens et idempotent(A^2=A)...
Désolé!
Dans ce cas,si pour tout x de H =0 alors A=O

[ludo56]

Désolé je me suis embrouillé ,le x n'est pas fixé, on raisonne dans le cas général.
En fait, mon probleme initial est le suivant :Soit A un opérateur hermitien
x, || | | <= k ||x|| par C-S.
Est ce que quelqu'un pourrait m'aider? merci