Section d'un cube

[lucie68]

Bonjour tout le monde :) !

Je bossais sur les sections de cubre te voilà, j'ai un problème.
On a un cube ABCDEFGH. Soit I appartentant à [AD]
Jnappartenant à [CG]
( la face du haut du cube est ABCD et celle du bas est EFGH )
On cherche la section du cube par le plan BIJ.Alors juque là ça va, mais après on suppose que I est le milieu de AD et on cherche où placer J pour que la section soit un trapèze isocèle.
Alors là je ne sais pas .
J'ai vu la correction suivante :

Notons c la mesure du côté du carré. Lorsque I est le milieu de [AD], on a AB = c et AI= c/2. Traçons la parallèle à (GH) passant par J. Elle coupe [D] en M. On a JM = c. BIKJ sera isocèle si BI = JK, donc si DK = c/2 : IDK devra donc être rectangle isocèle et (IK)//(BJ) implique J confondu avec G.

Mais je ne comprends pas comment il trouve que DK=c/2.
Donc si vous pouviez m'éclairer ce serait sympa :)

Merci d'avance !!

[emdro]

Traçons la parallèle à (GH) passant par J. Elle coupe [HD] en M.

Bonjour,

tu as oublié une lettre dans ton énoncé.

Si c'est bien [HD]comme je le pense, alors tu vois que:
*BI est l'hypoténuse du tr. rect BAI de côtés c et c/2.
*JK est l'hypoténuse du tr. rect BMK de côtés JM=c et MK.

Donc il faut que MK=c/2.

Pour bien comprendre, il faut compléter la figure par l'intersection (disons Z) de (BI) et (CD). (cela sort du cube).
D'après Thalès dans ZBC, ZD/ZC=DI/BC=1/2
Maintenant, d'après Thalès dans ZCJ, DK/CJ=ZD/ZC=1/2.

Donc DK=CJ/2=DM/2: K est le milieu de [DM].

Et par conséquent si MK=c/2 alors DK=c/2 :happy2:

NB: Tu peux utiliser le théorème de la droite des milieux au lieu de Thalès dans ce cas. C'est plus élégant.

[Zavonen]

Un trapèze isocèle étant conservé par homothétie on peut supposer que le côté du cube est 1.
Autrement dit on ne restreint pas la généralité en supposant que c=1.
Traitons le problème dans le repère
Les coordonnées des points sont:
B(1,0,0)
I(0,1/2,0)
J(1,1,k) k paramètre variant entre 0 et 1.
L'équation du plan BIJ est kx+2ky-2z=k
Ce qui nous donne le point K quatrième sommet de la section
K(0,1,k/2)
L'égalité BI²=JK&² s'écrit 5/4=1+k²/4.
D'où la conclusion.