Ensemble

[pusep]

Bonjour à tous, voici l'exercice sur lequel je me penche:

je dois dessiner l'ensemble suivant:

A={z dans C* | |z+(1/z)| =< 2}

D'après mes recherches, je trouve un carré de coté 2 centré en 0, de côté parralelle aux axes du repère.

Tout d'abord, j'ai remarqué que si z est dans A, alors (-z) et z barre y sont aussi, ce qui me permet de me restreindre à étudier les complexes dont les parties réelles et imaginaires sont positives.(symétrie axiale pour le conjugué, symétrie centrale pour (-z) )

->j'ai ensuite montrer que si z est réel, seuls (-1) et 1 conviennent,
puis si z est imaginaire pur, seuls (-i) et i conviennent
En effet, en posant f:z->z+1/z, on montre aisément que (-1) et 1 sont des max et min locaux et que leurs images est (-2) et 2

->Après, j'ai montré que si z=1+iy ou z=x+i, alors z est dans A
(par calcul pur du module, avec la condition (x et y) compris entre 0 et 1
(A ce stade, j'ai donc,avec les symétries mon carré)

->Il me reste à montrer (si mon hypothese est juste) que si z=x+iy , des que x différent de 1 ou y différent de 1, alors z n'appartient pas a A.
J'ai commencé à faire des calculs, ça devient monstrueux, je recherche donc plutôt une astuce, ou un moyen de réduire ces calculs.

Pouvez vous me dire si mon hypothèse est juste, et m'aiguillez si possible pour le dernier point?
Merci d'avance ;)

[yos]

Un carré, c'est trop pointu. Le contour est de classe C1.
Pose et calcule une équation polaire de la frontière.

[emdro]

Bonsoir,

i convient, mais et non 2.

NB: on n'obtient pas un carré comme tu le penses.

Edit: Je pense que le mieux est de prendre la forme algébrique.
En écrivant que , et en travaillant astucieusement -par exemple avec (a-b)²+4ab=(a+b)² -, tu tomberas sur le résultat.

[pusep]

emdro, on a i+1/i = 0 =< 2 donc c'est dans A!! non? (la fonction que je pose f(z) z+1/z qui s'applique à des réels, car c'est dans le cas ou z est soit réel ou imaginaire pur , et dans ce dernier cas |z|=|ai|=|a|=a)

je vais essayer en polaire :=)

[emdro]

Si tu me lis bien, tu verras que je suis d'accord sur le fait que i est dans l'ensemble. Mais on n'a pas |i+1/i|=2... Et du coup, ce ne sont pas les seuls imaginaires purs dans ton ensemble (par continuité).

[pusep]

au temps pour moi emdro,

en polaire je n'aboutis pas je vais essayer ta solution, merci bien;)

[pusep]

Je pense que le mieux est de prendre la forme algébrique.
En écrivant que , et en travaillant astucieusement -par exemple avec (a-b)²+4ab=(a+b)² -, tu tomberas sur le résultat.

le problème est que |z²+1|² n'est pas égal à |z²|²+2|z|+1, je ne vois pas comment utiliser l'égalité ici

[emdro]

Si tu travailles en forme algébrique, cela ne pose pas de problème:

[pusep]

merci pour l'indication