Equation differentiel

par **muse** » 21 Juin 2009, 17:33

Bonjour,

j'aimerais un exemple d'equation diffiretielle, vectorielle ou pas, dont on ne connait pas la solution analytique ou encore mieux dont on sait que la solution analytique n'existe pas.

Mais il faut que la solution puisse etre donné pas une methode numerique.

Cette question est dans le but de repondre a la question "Quelle est l'uilité des methodes numérique de resolutions d'équations differentielles?"
Merci

par **Maks** » 21 Juin 2009, 17:41

Bonjour,
qu'entends-tu par "dont on sait que la solution analytique n'existe pas." ?
Il me semble difficile de vraiment MONTRER qu'une équation différentielle n'admet pas de solution analytique.

par **muse** » 21 Juin 2009, 17:44

Ben je ne sais pas mais il a bien tédemontrer qu'on ne pouvait trouver les zeros d'un polynome de degres superieur 5 mais on peut les trouver de maniere numerique. Donc je me dis que c'est peut etre pareille pour les equa diff. Maintenant je me trompe peut etre.

Enfin ma phrase est peut etre mal faite.. Il serait peut etre preferable de dire "dont on sait qu'on ne peut trouver la solution de maniere analytique"

par **Maks** » 21 Juin 2009, 17:50

Je ne sais pas non plus. Toujours est-il que je te propose une équation différentielle menant à des solutions chaotiques, que j'ai modelisé via un circuit electronique, pour visualiser ses solutions.
C'est l'équation de Duffing (il en existe bien d'autres) :

,
avec

,

et

des constantes.

par **muse** » 21 Juin 2009, 17:54

Merci beaucoup mais que veut dire chaotique ? Pourquoi utiliser une methode numerique et pas chercher la solution exacte ?

f est aussi une constante ou c'est une fonction ?

Merci

par **Maks** » 21 Juin 2009, 18:07

Tu peux essayer de résoudre cette équation de manière analytique, mais tu ne devrais pas y arriver (tous les problèmes viennent du terme

).
Sinon, les solutions de cette équation sont chaotiques pour certaines valeurs des paramètres car :
-elles présentent une hyper-sensibilité aux conditions initiales (une infime variation des conditions initiales entraîne une très grande variation de la solution, d'où une impredictibilité sur le long terme de la solution)
-un ordre est cependant présent dans l'allure des solutions : on parle d'attracteur, voire d' attracteur étrange pour les systèmes chaotiques.

J'espère que tu comprends un peu. Cependant, si je devais en dire plus, je parlerais des semaines entières sur le sujet, étant passionné des phénomènes chaotiques et ayant travaillé dessus.

Si tu veux, je peux te citer des exemples de systèmes chaotiques dans la nature (il y en a beaucoup) : le système solaire (contrairement à ce que l'on pourrait croire), un billard à obstacles convexes (à chaque fois que la bille touche un obstacle, l'angle d'incidence est multiplié par 2, d'où des variations dans les conditions initiales s'amplifiant de manière exponentielle), un pendule double, ... En mathématiques, on peut citer la très célèbre suite dite "logistique" :

(je t'invite à la tracer sur calculette, et à regarder ce qui se passe pour

variant de 0 à 4, c'est très intéressant. D'ailleurs, il est tout aussi intéressant de connaître son origine : c'est Robert May, un biologiste qui l'a introduite, pour étudier des populations animales).

Voilà, voilà. J'espère que tu seras curieux d'en savoir plus. En tout cas, l'étude des systèmes chaotiques est passionnante (je t'invite à lire "La théorie du chaos", de James Gleick, très facile à lire, et retraçant les grandes avancées de cette théorie).

Au fait, j'en aurais presque oublié de te répondre : oui,

est une constante.

par **muse** » 21 Juin 2009, 18:13

Merci beaucoup je vais aller me renseigner sur tout sa. J'aimerais te poser plein de question mais il faut que je restreigne au sujet :p

Donc l'interet des methode numerique c'est que c'est plus rapide vu qu'on ne prend pas des année a chercher la solution exacte?

Pour toi quelle est l'utilité des méthode numérique des résolution d'equa diff ?

par **Maks** » 21 Juin 2009, 18:21

Non, tu n'as pas compris.
En mathématiques, il arrive que tu sois face à une équation dont la solution EXACTE ne soit pas "calculable". Par exemple, quand tu es face à

, tu peux me donner

. Tu sais alors résoudre l'équation de manière exacte.
Cependant, il existe des équations (l'équation de Duffing, par exemple), où tu ne pourras pas dire, aussi long soient tes calculs, que

. Les méthodes numériques peuvent alors te renseigner sur les solutions. PAr exemple, pendant les 30 premières secondes, la solution fait a peu près ça. Quand tu résoud de manière numérique, tu a forcemment un pas de résolution (c'est le principe du numérique). C'est-à-dire que tu auras une valeur toutes les 1 seconde par exemple. Tu auras donc à la fin un truc du genre :

...
Mais tu n'auras pas TOUTES les valeurs. Tu n'auras pas

, par exemple. De plus, la précision de tes

,

, ... est finie. Tu n'auras jamais l'absolue précision que pourrait te procurer une solution analytique.

J'espère que je suis assez clair.

N'hésite pas à poser des questions. Enfin là je vais manger :ptdr:

par **muse** » 21 Juin 2009, 19:11

Ok je comprends mieux merci.

Sinon est ce que parfois la solution exacte est calculable mais on prefere utiliser une methode numerique ? si oui pourquoi ?

Est ce que parfois on tombe sur des équation qui n'ont encore jamais été étudier et on peut chercher la solution exacte mais cela pourrait prendre 10 ans a la trouver alors on prefere utiliser une methode numerique qui nous donne un solution approchée mais dans les heures qui suivent. Ce cas la est possible ? il arrive souvent ?

Merci beaucoup :) et bon app :)

par **Maks** » 21 Juin 2009, 19:20

En général, soit on sait trouver une solution exacte, soit l'on ne sait pas. Si l'on sait la trouver, on la cherche, sinon, on utilise les méthodes numériques. Les méthodes numériques sont, je pense, le dernier recours pour résoudre une équation. Il est toujours plus avantageux d'avoir les solutions exactes.

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