Exponentielle de matrice

[legeniedesalpages]

Bonjour,

je ne vois pas comment montrer que pour une matrice symétrique , il existe un polynôme tel que .

Merci pour votre aide.

[Zavonen]

Il y a quand même quelque chose de curieux.
Si tu appliques cela à la matrice unité qui est bien symétrique. Ce résultat signifie qu'un polynôme en l'homothétie de rapport e est égal à l'unité. N'en résulterait-il pas que e est algébrique?

[uztop]

non ce n'est pas vraiment un contre exemple; le polynôme n'a pas besoin d'être à coefficients entiers; et on peut prendre pour la matrice unité.
Ceci dit, je n'ai pas d'idée pour résoudre cet exo.

[Ericovitchi]

il parait que mais je ne sais pas si ça peut servir dans le cas présent.

[legeniedesalpages]

En fait c'est une étape pour montrer l'injectivité de l'exponentielle définie sur l'ensemble des matrices symétriques.

[Zavonen]

non ce n'est pas vraiment un contre exemple; le polynôme n'a pas besoin d'être à coefficients entiers; et on peut prendre P(X)=\frac{X}{e} pour la matrice unité.

Exact, autant pour moi.
Ta remarque est quand même fort intéressante car elle prouve le résultat quand A est une homothétie, de là on passe facilement au cas d'une matrice diagonale (en prenant les polynômes produits). c'est un premier pas.

[legeniedesalpages]

je suis d'accord pour la cas où A est diagonale.

Après si A n'est pas diagonale, j'essaie de me ramener à ce qui a été fait en la diagonalisant en une matrice D,

si , alors ,
là je me retrouve avec un "genre de polynôme" en qui a des coeff à droite et à gauche de l'indéterminée, c'est toujours considéré comme un polynôme?

[Zavonen]

Supposons le résultat établi pour les diagonales.
Partons de P(exp(D))=D
Soit U inversible
On a U^-1P(exp(D))U=U^-1DU
Tout le problème est de savoir si on peut 'rentrer' les facteurs de gauche et de droite dans le membre de gauche.
C'est clair si P(X)=X^n, encore clair si P(X)=kX^n
A cause de la distributivité à gauche et à droite du produit on a
U^-1P(exp(D))U=P(U^-1exp(D)U)=U^-1DU
Maintenant on a de même U^-1exp(D)U=exp(U^-1DU) en appliquant la même chose aux sommes partielles de l'exponentielle qui sont des polynômes.

[legeniedesalpages]

ok, en fait il fallait chercher dans et non dans .
Merci Zavonen.