Decomposition de polynome sur un corps

par **qwertz** » 19 Juin 2009, 23:15

Bonsoir
j aimerais decomposer x^6-1 dans F2 en produits de polynomes irreductibles.
J'ai vu une methode sur wikipedia mais je ne la comprends pas.Quel qu un pourrait il me guider ou bien me proposer une autre methode?

j ai ceci (x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)
Est ce une bonne decomposition sur F2?

Et si oui je me demande si dans F2,le premier polynome ne serait pas pareil au second le 3eme et le 4 eme serait aussi les memes car -1=1
merci

par **_-Gaara-_** » 20 Juin 2009, 10:58

Salut,

pour faire bref,
tu résout X^6 -1=0 (racines 6 èmes de l'unité ie dans C)
ensuite
tu cherches les racines réelles qui te donnent une décomp sur R
puis tu cherches les racines complexes conjuguées que tu regroupes sachant que
(X-z)(X-zbarre) = (X² - 2Re(z)X+zzbarre)

X^6 - 1 = (X-1)(X+1)(X^2+X+1)(X^2-X+1)

par **MathMoiCa** » 20 Juin 2009, 12:39

Salut,

Et si oui je me demande si dans F2,le premier polynome ne serait pas pareil au second le 3eme et le 4 eme serait aussi les memes car -1=1
merci

Ouaip

Sinon on peut se servir de :

puis refactoriser (somme de cubes -> (x+1)(x²-x+1))

Et le reste x²-x+1 est bien irréductible (puisque c'est de degré 2, c'est irréductible dans F2 ssi 0 et 1 ne sont pas des racines)

M.

par **abcd22** » 20 Juin 2009, 13:41

Bonjour,

_-Gaara-_ a écrit:pour faire bref,
tu résout X^6 -1=0 (racines 6 èmes de l'unité ie dans C)

La question porte sur une décomposition dans F2, i.e. le corps à deux éléments, la décomposition dans C n'a aucun sens ici (décomposer un polynôme à coefficients réels ou rationnels dans C avant de revenir dans R ou Q, ça a du sens car il y a un plongement canonique de R et Q dans C, mais il n'y a aucun morphisme de corps de F2 dans C...).

par **leon1789** » 20 Juin 2009, 17:32

au fait, sur F_2, on a
1 = -1 et
(a+b)^2 = a^2 + b^2

par **qwertz** » 20 Juin 2009, 22:43

MathMoiCa a écrit:Sinon on peut se servir de : puis refactoriser (somme de cubes -> (x+1)(x²-x+1))
M.

Bonsoir et Merci pour vos multiples interventions .
J ai apres la factorisation des diviseurs non distincts.
J'aimerais les obtenir tous distincts.
mci

par **_-Gaara-_** » 20 Juin 2009, 22:57

abcd22 a écrit:Bonjour,

La question porte sur une décomposition dans F2, i.e. le corps à deux éléments, la décomposition dans C n'a aucun sens ici (décomposer un polynôme à coefficients réels ou rationnels dans C avant de revenir dans R ou Q, ça a du sens car il y a un plongement canonique de R et Q dans C, mais il n'y a aucun morphisme de corps de F2 dans C...).

My bad ! =)

par **Zavonen** » 20 Juin 2009, 23:08

J'aurais dit X^6-1=(X^3-1)(x^3+1) Mais dans F2 les deux facteurs sont égaux (-1=+1)
Donc =(X^3-1)(X^3-1)=(X-1)^2(X^2+X+1)^2
Or X^2+X+1 est irréductible puisque ni 0 ni 1 ne sont racines.
On a de plus (X-1)=X+1
Résultat final (X+1)^2(X^2+X+1)^2

par **abcd22** » 21 Juin 2009, 00:43

qwertz a écrit:J ai apres la factorisation des diviseurs non distincts.
J'aimerais les obtenir tous distincts.

Si un polynôme a des facteurs multiples on ne peut rien y faire à moins de changer de polynôme !

par **MathMoiCa** » 21 Juin 2009, 09:22

Ah oui tiens, et on ne peut pas simplifier

? Petit théorème de Fermat...
Et donc dans

,

?
Je ne suis pas sûre ça fait déjà un an et demi que je n'ai plus touché à ça :cry:

M.

par **nuage** » 21 Juin 2009, 10:05

MathMoiCa a écrit:Ah oui tiens, et on ne peut pas simplifier ? Petit théorème de Fermat...
Et donc dans , ?
Je ne suis pas sûre ça fait déjà un an et demi que je n'ai plus touché à ça

M.

Salut,
Attention de ne pas confondre polynômes et fonctions polynômes. Dans R c'est pas très grave mais dans un corps fini la différence est essentielle.

Decomposition de polynome sur un corps

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