Intégrales et séries

[LadyS]

Bonjour,

J'ai essayé de faire ces 2 exercices et je voudrais savoir s'ils sont justes??
Merci de votre aide


Ex 1 :
L'intégrale I= Intégrale (de 0 à +infini) (1/(1-x))+(1/(1+x)) dx converge-t-elle?
J'ai vu qu'elle est généralisée en 1 et l'infini donc je l'ai décomposée.
Sur [2,+infini[, (1/(1-x))+(1/(1+x))=1/(1-x²) donc on peut faire une équivalence en +infini : 1/(1-x²) équivalent à -1/x² qui converge d'après Riemann (puisque 2 > 1).
Après sur [0,1[ et ]1,2] j'ai le même problème de convergence en 1.
si je veux faire une équivalence en 1 ca me donne: 1/(1-x²) équivalent à (1/2) * 1/(1-x). Je pensais faire un changement de variable X=1-x et donc 1/1-x équivalent à 1/X en 0 et 1/X diverge par Riemann.
Ca marcherait ou il y a plus simple??


Ex2 :
1) Somme(n^3-1)/n! = Somme(u(n)) converge-t-elle?
(u(n): suite dépendant de n)
J'ai utilisé d'alembert et j'ai trouvé
u(n+1)/u(n) = (1/(n+1))* (((n+1)^3)-1)/((n^3)-1)
Or la limite du quotient tend vers 1 qui n'est pas strictement <1 donc la série diverge.

[Ericovitchi]

pour le 2, la limite du quotient est zéro (à cause du 1/(n+1) qui est devant donc la limite est zéro et la serie converge.

[LadyS]

Ah oui je l'avais oublié, merci.
Et pour le 1er exercice ca va ??

[Ericovitchi]

Pour le 1, comme on connait la primitive qui est on peut toujours essayer de l'intégrer entre 0 et 1 et entre 1 et + l'infini et voir la divergence

[LadyS]

Ca suffit à le prouver? il n'y a pas besoin d'utiliser une propriété ou quelque chose d'autre?

[Thomas93300]

Exercice 1:
Si tu veut pas ou si tu peut pas calculer une primitive alors t'utilise équivalents, absolue convergence et bornage ( le cours ). Donc calculer la primitive sa marche mais dans le cas ou tu peut pas calculer cette primitive, il y a toujours le cours et c'est sa l'esprit du chapitre sur les intégrales impropre (un chapitre pour les flemmard du calcul de primitives de fonctions parfois assez lourdes...).

En fait dans t'as deuxième étape de calcul (intégrale sur [0,1[ ):
T'as pas besoin d'utiliser un changement de variable !
(1/(1-x)) + (1/(1+x)) = -2/[(1-x)(1+x)] ~ -2/[(1-x)*2]= 1/(x-1)
et 1/(x-1) admet pour primitive ln|x-1| et l'intégrale entre 0 et 1 de ln|x-1| diverge car lim ln|x-1| = +inf et lim ln|x-1| = 0
x->1 x->0
Et donc l'intégrale donné est une somme de deux intégrales dont l'une converge et l'autre diverge donc elle diverge (donc ce que tu as fait c'est bon :happy2: ).

Exercice 2:
Quand la limite du quotient 1 alors la somme diverge grossierement.

C'est-à-dire :
>1 on est sur que sa diverge.
=1 on sait pas (sa dépend des cas).
<1 on est sur que sa converge.

Et en fait, comme Ericovitchi a dit dans ton cas la limite c'est 0 donc c'est pratique :we: .