Arithmétique et congruence

[Antennea]

Voici un problème en 7 questions. Les 4 premières sont très simples. Je bloque sur la 5ème... merci d'avance!

Bonjour ! Va lire le règlement avant de poster sur le forum

Le but de l'exercice est de donner toutes les fractions irréductibles de dénominateur inférieur ou égal à 25 qui sont strictement comprises entre 2/3 et 5/7.

1°) Soient a, b, a', b' quatre entiers naturels avec bb'0 et a'b-ab'=1. On considère les fractions a/b et a'/b'.
Quelle est la plus grande de ces deux fractions? Montrer qu'elles sont irréductibles.

2°) On pose c=a+a' et d=b+b'. Montrer que c/d est irréductible et que : a/b < c/d < a'/b'.

3°) Soit n un entier naturel non nul. On définit deux entiers q et q' par :
q/n <= a/b < (q+1)/n et q'/n <= a'/b' < (q'+1)/n
Montrer que q <= q' et que na = bq + r, avec 0 <= r < b et na' = b'q'+r', avec 0 <= r' < b'.

4°) Montrer que bb'(q' - q) = n + rb' - r'b.

5°) On suppose que n < b + b' et n non multiple de b'. Montrer que q = q'. Etudier le cas où n est multiple de b'.

6°) Déduire qu'il n'y a entre a/b et a'/b' aucune fraction de dénominateur inférieur strictement à b+b', et qu'il y en a une de dénominateur b + b'.

7°) Conclure.

[Timothé Lefebvre]

Bonjour à toi aussi,

et la politesse ? C'est une option ? Merci de lire le règlement.

[url="http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=85726"]http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=85726[/url]

C'est le dernier avertissement.

[Cheche]

Salut,

Tu pourrais nous montrer ce que tu as fait dans les premières questions.

[yos]

Bonjour.

Majore q'-q en utilisant

bb'(q' - q) = n + rb' - r'b

et n < b+b'.
Tu parviendras à (B à calculer).

[Antennea]

Bonjour et merci beaucoup, Yos. Je m'atelle immédiatement à la tâche....
OK, j'ai réussi. Merci encore pour ce tuyau!