Densité de la somme et du produit

par **yutor** » 10 Fév 2006, 20:49

Bonjour à tous,

on m'a posé le problème suivant:
soient A et B deux parties denses de R:
on me demande si A+B et AB sont denses dans R ?
et l'étude de la réciproque?

Merci à tous pour vos idées car je sèche devant cette exercice!!!

par **isortoq** » 10 Fév 2006, 21:08

La réponse est oui pour les deux car si tu notes "adh(A)" l'adhérence de A alors tu as :

adh(A)+adh(B) est inclus dans adh(A+B)

et

adh(A)adh(B) est inclus dans adh(AB)

ce qu'on obtient facilement avec des suites ; par exemple, si x est dans adh(A)+adh(B), alors il existe a dans adh(A) et b dans adh(B) tels que x=a+b.
Comme a est dans adh(A), il existe une suite a_n dans A qui converge vers a ; il y a aussi une suite b_n dans B qui converge vers b.

Donc a_n + b_n converge vers a+b = x, d'où x est dans adh(A+B)...

par **nuage** » 10 Fév 2006, 21:22

Salut,
je ne suis pas d'accord avec le cas du produit : prendre A=B=Q à titre de contre-exemple.

par **isortoq** » 10 Fév 2006, 21:26

nuage a écrit:Salut,
je ne suis pas d'accord avec le cas du produit : prendre A=B=Q à titre de contre-exemple.

Ben c'est pas un contre-exemple parce que : Q.Q=Q...

par **nuage** » 10 Fév 2006, 21:32

mille excuses

par **isortoq** » 10 Fév 2006, 21:47

nuage a écrit:mille excuses

Y'a pas de mal !...

par **redwolf** » 11 Fév 2006, 00:09

Bonsoir.

La question de la réciproque a été laissée de côté.
La réciproque est fausse : posons

et

.

et

sont denses dans

mais ni

ni

ne le sont.

A bientôt

par **yutor** » 11 Fév 2006, 09:45

je vous remercie pour vos reponses

par **isortoq** » 12 Fév 2006, 10:40

On peut aussi noter que si un SEUl parmi A et B est dense dans R alors A+B est dense dans R, et si B n'est pas réduit à {0} alors AB est dense dans R également...

Densité de la somme et du produit

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