Démonstration d'un théorème en géométrie à partir des postul

[Philippe.Lemoine]

Bonjour à tous. Je suis un étudiant en philosophie et j'ai un problème que j'aimerais vous soumettre. La question m'est venue à la lecture d'un ouvrage sur les fondements des mathématiques. Vous trouverez sans doute que c'est simple, mais j'avoue qu'en ce qui me concerne, je suis bloqué. Je ne parviens pas à démontrer un théorème à l'aide des postulats de Hilbert (http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiomes_de_Hilbert#La_base_axiomatique). J'ai eu le malheur de m'arrêter sur ce problème et à présent j'arrive pas à continuer la lecture de mon livre tant que je n'ai pas la solution. J'ai pensé que vous auriez moins de mal que moi à résoudre cette difficulté.

Soient 4 points A, B, C, D. On sait que B est entre A et C et que C est entre A et D. Je voudrais démontrer qu'il s'ensuit que B est entre A et D. Je suis parvenu à montrer que A, B, C, D étaient sur la même ligne à l'aide des postulats I-1 et II-1. Je pensais m'appuyer ensuite sur le postulat II-3, qui implique que si B n'est pas entre A et D, c'est soit que A est entre B et D, soit que D est entre A et B. En effet, je pensais pouvoir démontrer qu'il était impossible que A soit entre B et D, comme il était impossible que D soit entre A et B, ce qui aurait suffit à établir le théorème que je cherche à démontrer. J'ai beau me torturer l'esprit dans tous les sens, j'ai l'impression qu'il me faudrait un postulat supplémentaire. Pouvez-vous m'aider ?


Cordialement,
Philippe Lemoine

[yos]

j'ai l'impression qu'il me faudrait un postulat supplémentaire.

Hilbert aussi le pensait (voir le premier commentaire de l'article que tu cites). Bien que l'axiome qu'il proposait est un peu différent, ça ressemble beaucoup à ce que tu veux. Et si D.H. n'a pas vu la redondance de cet axiome, je ne perdrai pas une minute à essayer de l'établir.

[Philippe.Lemoine]

A vrai dire je n'avais pas vu les commentaires de l'article de Wikipedia, je vous l'avez donné afin que vous ayez sous les yeux les axiomes auxquels je faisais référence, puisqu'en ce qui me concerne je les avais dans mon livre. Effectivement je crois que pour démontrer le 21ème axiome de Hilbert, il faut pouvoir démontrer le théorème que je recherche. C'est pourquoi je devrais avoir la réponse à ma question en lisant la démonstration de la redondance par Moore. Je peux au moins me consoler en me disant qu'après tout je suis arrivé à la même conclusion que Hilbert : même si elle est fausse, c'est déjà ça :-) Merci pour ta réponse ! Il ne reste plus qu'à trouver la démonstration de Moore, ce qui sera sans doute moins facile :-(

A++

[nuage]

Si mes souvenir sont bon il faut utiliser l'axiome de Pasch.