Sous espace vectoriel et base

[Scipion]

Bonjour à tous, je suis coincé par la question suivante :

V = { (a, a², b, c) | a,b,c € R}

Je dois prouver que V est un sous espace vectoriel de R^4 et je dois trouver une base et sa dimension si c'est le cas.

1) Pour prouver qu'il s'agit bien d'un s.e.v je prouve que le vecteur 0 € V sans soucis.

2) Ensuite je dois prouver que pour k € R et un vecteur v de l'ensemble V, k*v € V.

J'ai donc v = (a, a², b , c) | a,b,c € R

k * v = (k*a , (k*a)², k*b, k*c)
Je pensais poser : k*a = alpha, k*b = beta et k*c = omega et ainsi retrouvé un vecteur de la mm forme que celui de départ et pouvoir conclure que k*v € V.

Est-ce correct ?

3) Finalement, j'aurai prouvé de la même façon que l'addition de deux vecteurs de V appartient encore à V.

Je concluerai alors qu'il s'agit d'un s.e.v


Ensuite il me reste à trouver une base de V et sa dimension.
Cependant je n'ai pas réussi à faire cela, est-ce que qqn pourrait m'aider pour cette étape ?

Merci d'avance.

[Imod]

J'ai bien peur que ne soit pas un carré dans quand est négatif .

Imod

[Scipion]

Oh merci, ce qui explique pourquoi ce carré m'empêchait de trouver une base par la suite, car V n'est pas un s.e.v. Merci bien :).
De plus je peux donner un contre exemple pour le point 3 en fait, si je prends
un vecteur v (1,1,b,c) et un vecteur c (2,4,b,c)
Je vais obtenir (3,5,2b,2c) et là, je n'ai plus (a,a²,b,c).