Diagonalisation d'une matrice

[Scipion]

Bonjour à tous,
j'ai trouvé la proposition suivante :
Suite A une matrice carrée.

1) A est diagonalisable ssi la somme de la multiplicité des vecteurs propres est égale à n (le nombre d'inconnus).

Pour chacune des valeurs propres, il faut avoir la multiplicité de cette valeur propre = à la dimenssion de l'espace de l'espace propre.

2) A est diagonalisable ssi la somme de la dimension des espaces propres est égale à n.

Je me demandais, si par exemple, je n'obtiens pas que la somme de la multiplicité des valeurs propres = n.
Mais cependant, que j'obtiens que la somme des dimensions des espaces propres = n.

Puis-je tout de même conclure que A est diagonalisable ? Je veux dire, ssi admet une équivalence, donc dans le cas où l'un des deux points n'est pas juste, l'équivalence n'est pas respectée, et donc A ne serait pas diagonalisable ?

Merci de vos réponses.

[gol_di_grosso]

Bonjour,

1) A est diagonalisable ssi la somme de la multiplicité des vecteurs propres est égale à n (le nombre d'inconnus).

est la taille de la matrice carrée ?

[Scipion]

Oui c'est bien cela que j'entendais par le nombre d'inconnus.
Il y a donc n équations à n inconnus dans une matrice carrée.

[Jul29]

Si la somme des multiplicités des valeurs propres égale n, la matrice n'est pas forcément diagonalisable, exemple : n'est pas diagonalisable. En effet la dimension de l'espace propre est 1, et celui-ci ne peut donc servir de nouvelle base.

Par contre si la multiplicité des valeurs propres est toujours 1, donc si le polynôme est scindé sur le corps donné, cela est vrai.

[alavacommejetepousse]

bonjour

quand on parle de multiplicité il faut être précis

on distingue

1 la multiplicité algébrique des vp comme racine du polynôme caractéristique


la somme des multiplicités fait tjrs n puisque le polynôme est de degré n

2 la multiplicité géométrique égale àla dmension du sous espace propre correspondant ; la somme des dimensions est tjrs inférieure à n avec égalité ssi l'endomorphisme est diagoalisable