Equa diff (pbl solution particulière)

[totti87]

bonjour
je n'arrive pas à trouver la solution particulière de l'equa dif

4y''-4y'+4y=(1+sin x) e^2x :hein:

faut il mettre le sin sous la forme exponentielle?

[JJa]

Bonjour,

le plus simple est de chercher une solution particulière de chacune des deux EDO suivantes et d'ajouter ces deux solutions particulières:
Premièrement :
4y''-4y'+4y= exp(2x)
( solution de la forme c*exp(2x) et on calcule c)
Deuxièmement :
4y''-4y'+4y=sin(x)*exp(2x)
(solution de la forme (a*cos(x)+b*sin (x))*exp(2x))*exp(2x) et on calcule a et b)

[fourize]

bonjour,

ou sinon tu peut te lencer avec la methode de la variation de la constante ! :id:

ça marche aussi ...

PS. t'as dit solution particuliere ? ça veux dire equation sans seconds membre ? :doh:

[totti87]

Merci pr les indications,
pour repondre à JJa

4y''-4y'+4y= exp(2x)
( la solution ne serait pas plutot de la forme (at+b)(*exp(2x) (comme 2 est valeur propre double de 4X²-4X+4) et on calcule a et b)?

je trouve b=1/12

4y''-4y'+4y=sin(x)*exp(2x)
(la solution ne serait pas plutot de la forme (a*cos(x)+b*sin (x))*exp(2x)) et on calcule a et b)

je trouve a=-1/12 b=1/24



et je cherche solution generale
equation homogène + equation avec second membre

[fourize]

Merci pr les indications,
pour repondre à JJa

:triste:

4y''-4y'+4y= exp(2x)
( la solution ne serait pas plutot de la forme (at+b)(*exp(2x) (comme 2 est valeur propre double de 4X²-4X+4) et on calcule a et b)?

"2 est valeur propre double"? :doh: tu veux dire quoi par la? racine double? (si c'est ce dernier: 2 n'est pas racine ! calcule le delta)

je trouve b=1/12

je pense que c'est normal que tu sois bloqué la dessus, il fallait prendre (at²+bt+c)e^(2x) pour que ça marche ... sinon la derivée seconde de ce que t'as pris et vite fait 0 (ZERO) :happy2:

4y''-4y'+4y=sin(x)*exp(2x)
(la solution ne serait pas plutot de la forme (a*cos(x)+b*sin (x))*exp(2x)) et on calcule a et b)
je trouve a=-1/12 b=1/24

celui la ta bien choisit (JJa a fait une erreur) et sauf erreur de calcul de ta part; le resultat me semble raisonnable.

et je cherche solution generale
equation homogène + equation avec second membre

destress et ecris correctement (merci) :zen:

[totti87]

oups je me suis trompé dès le debut en fait c'est


Y''-4Y+4=(1+sin x)*exp(2x) :marteau:

on a donc Y=Yh+Yp (solution homogène plus particulière ou avec plus sans second membre )

2 est donc bien RACINE DOUBLE


et Yh=(ax + b)*exp(2x)

Yp1 solution de Y''-4Y+4=sinx*exp(2x) vaut
en prenant Yp1 de la forme (a*cos x+ b*sin x)*exp(2x)
(4/15*cos x + 1/15*sin x)*exp(2x) d'après mes calculs

Yp2 solution de Y''-4Y+4= exp(2x) vaut
en prenant Yp2 de la forme (Ax²+Bx+c)
d'après mes calculs (1/2x²+Bx+c)*exp(2x) (infinité de solution)

On a donc Y=exp(2x)((a+B)x+b+c + (1/2)x² + 4/15*cos x + 1/15*sin x)

je pense que c'est à peu près ça.
Merci

[fourize]

re,

mmmmmhhh ! je n'ai pas fait les calcules
mais celui la me plait bien §

(autres questions ?? ou encore du stress )

[totti87]

ouais du stress encore et tjs mais bon..
et autres questions euh
si je veux faire variation de la constante

je pose Y=exp(2x)Z ???

ça n'apporte pas grand chose au final

[fourize]

re,

je pose Y=exp(2x)Z ???
ça n'apporte pas grand chose au final

normal :zen:
d'abord n'oublie pas qu'on a une equadiff de second degrés .
la methode de la variation de la constante pour pour ce genre d'équation à deux hypothèses à vérifier:
*que tout solution de (H) s'écrit avec des réels.
* que les fonctions ne sont pas linéairement dépendantes.
après ...
la solution générale de (E) s'écrit avec des fonctions à déterminer :++:

PS. (H) equation homogene et (E) equation avec second membre.

[totti87]

très bien merci :happy2:

[totti87]

re,
j'ai un soucis

en refaisant les calculs je trouve
y=yh+yp
y(t)=(Ax+b+((1/2)x^2)-sin x)exp(2x)

avec la condition initiale y(0)=y(0)'=0
je trouve A=-1
(j'injecte dans y)


or en faisant la variation de la constante je trouve

y(t)=((1/2)x^2-sin x)exp(2x)

J'aurais donc du trouver A=0 avec la premiere methode
ou alors faut t-il " injecter " dans yh??