Dérivées à droites et à gauches

[Elise68]

Bonjour !

J'aimerais montrer le théorème suivant :
f est dérivable en a si et seulement si elle est dérivable à droite et à gauche en a.

Voilà ce que je penserais, mais je ne suis pas sûre :

Si f est dérivable, alors la limite du rapport f(x)-f(a) /(x-a) lorque x tend vers a existe et vaut f'(a).
En particulier , cette limite existe lorsque x tend vers a par valeurs infèrieurs et supèrieures et celles ci sont égales.

Réciproquement , supposons que :
-la limite du rapport f(x)-f(a) /(x-a) lorque x tend vers a par valeurs infèrieures existe et vaut A
-la limite du rapport f(x)-f(a) /(x-a) lorque x tend vers a par valeurs supèrieures existe et vaut A

Alors la limite def(x)-f(a) /(x-a) lorsque x tend vers a existe et vaut A et donc f est dérivable en a et A=f'(a).

Et c'est cette dernière étape dont je ne suis pas totalement sûre ..

Merci d'avance !

[SimonB]

Euh... Il me semble que ce théorème est faux, il serait plutôt rassurant que tu rajoutes la condition supplémentaire que les dérivées soient égales... Sinon, la valeur absolue serait dérivable en 0 (par exemple) :-)

[L.A.]

f est dérivable en a si et seulement si elle est dérivable à droite et à gauche en a et les dérivées à gauche et à droite coïncident.

Bonjour.

je suppose que tu veux montrer ça plutôt

La conclusion est juste mais tu peux développer un peu plus, en considérant par exemple une suite xn qui tend vers a en restant différente de a.

on scinde la suite en deux parties, les termes à gauche et les termes à droite, et on étudie d'abord le cas où l'une ou l'autre est finie.

puis où les deux parties sont infinies

[fourize]

bonjour,

Bonjour !
J'aimerais montrer le théorème suivant :
f est dérivable en a si et seulement si elle est dérivable à droite et à gauche en a.
Merci d'avance !

justement c'est faut ce théorème: à cause du "si et seulement si"
il est valable uniquement dans un sens :
"si f est derivable en a alors elle est derivable à gauche et à droite de a"

(si je ne me trompe pas non plus ... :mur: )

[Elise68]

Ah oui mince excusez moi j'ai oublié que les deux limites doivent être égales ...pardon !

Par contre je ne vois pas le lien entre les suites et la dérivabilité ..

[L.A.]

montrer qu'une fonction f(x) tend vers L quand x tend vers a, c'est montrer que pour toute suite xn qui tend vers a, on a f(xn) tend vers L

ici il s'agit donc de prendre xn->a, xn différents de a, et que mq (f(xn)-f(a))/(xn-a) -> L.