Théorème de Rolle-majoration méthode des trapèzes

[Elise68]

Bonjour à tous !

J'ai un petit souci pour comprendre une démonstration dans la majoration de la méthode des trapèzes.
On a une fonction f C2 sur [a;b].
On construit P1 polynome de degré 1 de sorte que P1 aient mêmes valeurs aux points a et b.
Et on aimerait montrer que :
en valeur absolue :
f(x)-P1(x) <= 1/2 * (x-a)(x-b)*M
où M est le sup de f" sur [a;b].

Et pour cela , on introduit la fonction g définie de la façon suivante :
à t g associe :
f(t)-P1(t) - (f(x)-P1(x)) * (t-a)(t-b) * 1/((x-a)(x-b))

Et on applique deux fois Rolle à g.
On trouve alors l'existence de k tel que g"(k)=0.
Alors comme g s'annule aux points a , b et x je comprends qu'on puisse appliquer Rolle une fois, mais comment sait-on qu'on peut l'appliquer deux fois?

Merci beaucoup d'avance !!

[busard_des_roseaux]

Bj,

si g s'annule en trois points a,b,c
g' s'annule en deux points ,un dans ]a,b[, l'autre dans ]b,c[
g" s'annule en un point

i) l'idée de ces méthodes avec un paramètre, c'est de trouver un zéro
supplémentaire de la fonction g
ii) Il y a un thm de Rolle généralisé avec racines comptées avec leur ordre
de multiplicité

ex: 5 racines.
alors la dérivée quatrième s'annule une fois dans ]0;1[

[Elise68]

Ah exact !!
C'est le théorème qui dit que si g (avec certaines hypothèses ) admet n racines disctintes , alors g' admet au moins n-1 racines distinctes séparant les zéros de g !
J'avais oublié ce théorème !
Merci à toi !