Théorie des nombres

[clicli]

Bonjour,

Une petite question:

Si F est une extension de degré n d'un corps de base avec un ordre maximal et que sont des ordres de F,

Comment puis-je démontrer en tant que -modules??

En fait je déjà je ne suis pas très familier avec les ordres de corps ni avec la notation

Si quelqu'un peut m'éclairer!

Merci

[yos]

R contient donc ??

C'est quoi R* et S* ?

[clicli]

C'est le dual...


étant maximal, je vois mal comment il pourrait être contenu dans R!!!

D'ailleurs, tous ces ordres sont des modules libres de rang n non?

[yos]

est un ordre de et R,S sont des ordres du corps F donc sont à voir comme au-dessus des ordres de que sont et .

[clicli]

Je suis d'accord... Donc l'exercice serait faux/mal posé?

[yos]

J'ai pas dit ça.
S et R contiennent mais est-ce que ça va de soi? On va dire que oui.
S et R sont des -modules de rang n, mais libres je sais pas : il faudrait que l'anneau de base soit principal.

[leon1789]

S et R sont des -modules de rang n, mais libres je sais pas : il faudrait que l'anneau de base soit principal.

Quand tu dis que "S et R sont des -modules de rang n", tu veux dire qu'ils sont localement libres de rang n ?

[yos]

Cette approche de la théorie des nombres est datée (années 50). La seule chose qui importe c'est l'ordre maximum d'un corps de nombres (= l'anneau des entiers) et les auteurs d'aujourd'hui savent que la définition de ce dernier comme clôture intégrale de Z dans K est la plus efficace, même si elle peut surprendre au début. S'intéresser aux divers ordres d'un corps de nombres, c'est vouloir s'emm...er avec des préliminaires algébriques à n'en plus finir.

Sur cette critique (qui fait pas avancer le schmilblick), j'essaie de reprendre : les ordres sont, je crois, définis comme des sous-anneaux de rang maximum sur l'anneau Z des entiers relatifs. Ici, on dirait qu'on a une définition relative ?
Si est un Z-module libre de rang et R est un Z-module libre de rang , rien ne dit, à ma connaissance que R est un -module libre.
Et si les modules sont pas libres, j'ose pas trop regarder les questions de dualité.
En revanche, si R et S sont des -modules libres, la preuve de l'égalité des rangs doit se faire point par point comme pour les espaces vectoriels en remplaçant le mot dimension par le mot rang.

Qu'en dis-tu Léon? Je reconnais que la phrase de moi que tu cites est un peu n'importe quoi.

[leon1789]

S'intéresser aux divers ordres d'un corps de nombres, c'est vouloir s'emm...er avec des préliminaires algébriques à n'en plus finir.

Peut-être aussi qu'il est difficile d'obtenir concrètement (ie. algorithmiquement, avec machine, etc.) une base explicite de la clôture intégrale O d'un corps de nombres Q(x), alors qu'il est plus simple d'obtenir des bases d'anneaux inclus dans O libres de rang n sur Z.
Tu vois ce que je veux dire ? Cet intérêt pour les ordres est peut-être dû à l'histoire de la théorie de nombres, mais aussi peut-être à l'aspect calculable des choses. :hein:
Bon, là, on diverge du sujet :zen:

Sur cette critique (qui fait pas avancer le schmilblick), j'essaie de reprendre : les ordres sont, je crois, définis comme des sous-anneaux de rang maximum sur l'anneau Z des entiers relatifs. Ici, on dirait qu'on a une définition relative ?
Si est un Z-module libre de rang et R est un Z-module libre de rang , rien ne dit, à ma connaissance que R est un -module libre.

Je suis d'accord.

Et si les modules sont pas libres, j'ose pas trop regarder les questions de dualité.

oui, je te comprends.

En revanche, si R et S sont des -modules libres, la preuve de l'égalité des rangs doit se faire point par point comme pour les espaces vectoriels en remplaçant le mot dimension par le mot rang.

Qu'en dis-tu Léon? Je reconnais que la phrase de moi que tu cites est un peu n'importe quoi.

Ben je ne connais pas assez les choses précisément... En général R_0 n'est qu'un anneau de Dedekind non principal (comme tu soulignais), et un module de type fini sans torsion sur un anneau de Dedekind n'est pas libre (sinon l'anneau sera principal !).

En revanche, localement en tout idéal maximal, un anneau de Dedekind est un anneau de valuation discrète. Dans ce cas, tout rentre dans l'ordre (si j'ose dire :id: ) : un module de type fini sans torsion est libre, etc.

Enfin, il y a le cadre des modules projectifs (plus général que les modules libres). Pour moi, les ordres R et S ont tout l'air d'être des modules projectifs de rang constant n sur R_0 ... N'est-ce pas clicli ?
Dans ces circonstances, je crois que l'on peut aussi (mais je vais m'abstenir because je n'ai pas révisé :triste: ) étudier le dual des modules.

[yos]

Peut-être aussi qu'il est difficile d'obtenir concrètement (ie. algorithmiquement, avec machine, etc.) une base explicite de la clôture intégrale O d'un corps de nombres Q(x), alors qu'il est plus simple d'obtenir des bases d'anneaux inclus dans O libres de rang n sur Z.

en effet : je crois bien avoir vu ce genre de calcul dans un livre d'algorithmique (Cohen).

[clicli]

Bonsoir,

D'accord sur la définition des ordres... Sur votre débat, je suis encore au début de mes cours de Théorie des nombres, je ne saisis pas encore très bien les différences conceptuelles!

Comment dois-je donc utiliser ces indications pour prouver mon égalité?
Merci

[leon1789]

En fait je déjà je ne suis pas très familier avec les ordres de corps ni avec la notation

ok.

Quelle est ta définition de (S:R) ?

[clicli]

ok.

Quelle est ta définition de (S:R) ?

Ben justement je ne suis pas certain et ce n'est pas dans mon cours... JE n'ai pas trouvé de définition formelle dans la littérature (par ailleurs pas très fournie dans ce domaine dans mon uniiversité)...

Est-ce qu'on n'aurait pas: (S:R) = rang de S sur R, à savoir qu'on aurait une base de R inclue dans une base de S (si ces modules sont de type fini évidemment)?

Dans ce cas, pourquoi ne pas montrer qu'à tout morphisme de R dans S correspond un morphisme de S* dans R*??

[leon1789]

Est-ce qu'on n'aurait pas: (S:R) = rang de S sur R, à savoir qu'on aurait une base de R incluse dans une base de S (si ces modules sont de type fini évidemment)?

Deux bases de R et S sur R_0 ? mais R et S ne sont pas libres sur R_0...

Deux bases de R et S sur Z ? mais R et S sont de même rang sur Z, donc une base de l'un ne peut pas être incluse dans une base du second...

[clicli]

Alors qu'est ce que ce (S,R) veut dire???

[clicli]

Je reviens sur le "il suffit de travailler comme avec des espaces vectoriels en parlant de rang plutôt que de dimension..."

Ne montre-t-on pas alors que R*,S* = R,S...?

Dans l'énoncé de l'exo, on doit montrer que S*,R* = R,S, où RS sont des R0 modules...

J'avoue là je suis complètement paumé