Bonsoir,
Pour marquer le retour du forum après une trop longue interruption, une petite question amusante:
considérons les différentes lois que vous connaissez:
U = RI (1)
P = UI (2)
P = RI² (3)
où les variables U, I et P sont susceptibles de varier en fonction du temps.
D'après (2) dP/dI = U = RI (d pour d rond, dérivée partielle)
D'après (3) dP/dI = 2RI (toujours une dérivée partielle)
Et donc dP/dI = RI = 2RI ou 2=1 ? Où est le problème?
Nota : il ne s'agit pas d'un bug de logique!
Les différentielles en physique
17 messages
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par nuage » 29 Mai 2009, 20:15
Nightmare a écrit:Salut :happy3:
R est fonction de I non?
Je dirais plutôt que U est une fonction de I
de (2) on tire
soit
[modification] j'ai pris R constant
par Dominique Lefebvre » 29 Mai 2009, 22:29
Bonsoir,
On peut considérer R comme une constante. Il y a très peu de cas où R dépende de I!
Pour vous guider, je peux vous donner deux indices: il s'agit de dérivées partielles et ce sont des fonctions à plusieurs (ici 2) variables...
PS : un autre indice, mais un peu piégeux... pensez aux formules qui vous ont cassé la tête en thermo...
On peut considérer R comme une constante. Il y a très peu de cas où R dépende de I!
Pour vous guider, je peux vous donner deux indices: il s'agit de dérivées partielles et ce sont des fonctions à plusieurs (ici 2) variables...
PS : un autre indice, mais un peu piégeux... pensez aux formules qui vous ont cassé la tête en thermo...
par Dominique Lefebvre » 29 Mai 2009, 22:41
Nightmare a écrit:Eh bien il me semble que nuage a tout dit non?
et non juste
Je ne vois pas en quoi ça explique le paradoxe...
Mais je ne vois pas non plus pourquoi deux fonctions différentes, comme (2) et (3), prises en des points différents de R², auraient forcément les mêmes dérivées partielles, en ce pour la seule raison qu'elles repésentent une même grandeur physique...
par Nightmare » 29 Mai 2009, 22:47
Pourquoi parles-tu de deux fonctions différentes? C'est justement la même fonction réécrite autrement.
par nuage » 29 Mai 2009, 23:21
Dominique Lefebvre a écrit:Je ne vois pas en quoi ça explique le paradoxe...
Un paradoxe, où ça ?
Dominique Lefebvre a écrit:Mais je ne vois pas non plus pourquoi deux fonctions différentes, comme (2) et (3), prises en des points différents de R², auraient forcément les mêmes dérivées partielles, en ce pour la seule raison qu'elles repésentent une même grandeur physique...
C'est pas parce que c'est pareil que c'est la même chose ?
Je sais bien, à mon grand regret, que je ne connais pas la physique, mais là il me semble que tu passes les bornes du raisonnable.
Il est certain qu'en des points différents les différentielles sont différentes, mais je pensais que P représentait la même quantité dans l'égalité (2) et dans l'égalité('3).
Si ce n'est pas le cas ce que tu écris n'a aucun sens.
par Dominique Lefebvre » 30 Mai 2009, 09:24
Bonjour,
Si je reprends les équations (2) et (3) et que je les écrive sans présomption d'une représentation physique quelconque, j'obtiens deux fonctions : l'une de la forme xy (en identifiant U à x et I à y) et l'autre de la forme zy² (z étant identifié à R).
Diriez vous que ces deux fonctions sont identiques dans leur forme? Et pourquoi donc auraient les mêmes dérivées partielles? Ce n'est pas parce que ces deux fonctions représentent une même grandeur physique qu'elles sont identiques (même forme).
Voyons maintenant la signification physique des deux dérivées partielles que j'ai calculé.
Quand j'écris dP/dI = U, je suppose que je calcule cette DP à U constant, en faisant varier I.
Quand j'écris dP/dI = 2RI, je suppose R constante, sans rien présumer de U, en faisant varier I.
Il s'agit en fait de deux expériences différentes, pour lesquelles les résultats sont différents.
On retrouve le même problème en thermo, lorsqu'on fait varier un paramètre en maintenant les autres constants.
Donc, pour éviter le genre d'erreur qui conduit à 1=2 par une différentiation trop vite faite, il serait préférable d'écrire:
pour (2) (dP/dI) U= Cte
pour (3) (dP/dI) R=Cte
ce qui interdit d'écrire (2) = (3) et d'aboutir au paradoxe 1=2
Et encore, ce n'est pas parfait ! car cela introduit un autre problème....
Si je reprends les équations (2) et (3) et que je les écrive sans présomption d'une représentation physique quelconque, j'obtiens deux fonctions : l'une de la forme xy (en identifiant U à x et I à y) et l'autre de la forme zy² (z étant identifié à R).
Diriez vous que ces deux fonctions sont identiques dans leur forme? Et pourquoi donc auraient les mêmes dérivées partielles? Ce n'est pas parce que ces deux fonctions représentent une même grandeur physique qu'elles sont identiques (même forme).
Voyons maintenant la signification physique des deux dérivées partielles que j'ai calculé.
Quand j'écris dP/dI = U, je suppose que je calcule cette DP à U constant, en faisant varier I.
Quand j'écris dP/dI = 2RI, je suppose R constante, sans rien présumer de U, en faisant varier I.
Il s'agit en fait de deux expériences différentes, pour lesquelles les résultats sont différents.
On retrouve le même problème en thermo, lorsqu'on fait varier un paramètre en maintenant les autres constants.
Donc, pour éviter le genre d'erreur qui conduit à 1=2 par une différentiation trop vite faite, il serait préférable d'écrire:
pour (2) (dP/dI) U= Cte
pour (3) (dP/dI) R=Cte
ce qui interdit d'écrire (2) = (3) et d'aboutir au paradoxe 1=2
Et encore, ce n'est pas parfait ! car cela introduit un autre problème....
par nuage » 01 Juin 2009, 14:20
Salut,
je reviens un peu tard, mais ce problème me rappelle le mauvais vieux temps, celui où j'avais des notes correctes en physique sans rien y comprendre
(jusqu'en 2° année de fac il suffisait de savoir calculer pour avoir plus que la moyenne). Je me suis laissé aller à ce travers dans ma première réponse.
Ta réponse ne me satisfait pas, ne serait ce que dans ton premier cas P=UI on a R variable, ce que j'avais explicitement écarté.
Je proposerais donc le raisonnement suivant : P est une fonction du temps t de même que U, I et R.
De
on tire : 
De
on tire : 
De
on tire : 
Ensuite, via quelques substituions ces égalités reviennent à :
si 
si 
Si tu veux bien accorder encore quelques minutes à cette question, j'aimerais savoir si ce raisonnement a un sens physique.
D'avance merci
nuage :
je reviens un peu tard, mais ce problème me rappelle le mauvais vieux temps, celui où j'avais des notes correctes en physique sans rien y comprendre
(jusqu'en 2° année de fac il suffisait de savoir calculer pour avoir plus que la moyenne). Je me suis laissé aller à ce travers dans ma première réponse.
Ta réponse ne me satisfait pas, ne serait ce que dans ton premier cas P=UI on a R variable, ce que j'avais explicitement écarté.
Je proposerais donc le raisonnement suivant : P est une fonction du temps t de même que U, I et R.
De
De
De
Ensuite, via quelques substituions ces égalités reviennent à :
Si tu veux bien accorder encore quelques minutes à cette question, j'aimerais savoir si ce raisonnement a un sens physique.
D'avance merci
nuage :
par Dominique Lefebvre » 01 Juin 2009, 14:46
nuage a écrit:Ensuite, via quelques substituions ces égalités reviennent à :
si
si
Si tu veux bien accorder encore quelques minutes à cette question, j'aimerais savoir si ce raisonnement a un sens physique.
Bonjour,
C'est précisement ce que j'ai écris dans mon post précédent!
Dans la première dérivation, tu mesures la variation de P par rapport à I, en fixant U = constante.
Dans le deuxième dérivation, tu mesures la variation de P par rapport à I, en fixant R = constante.
Ce sont deux expériences différentes! En fait, si tu te positionnes sur la 2-variété, tu t'aperçois que tu parcoures des chemins différents. Il n'y a donc aucune raison que les dérivées partielles soient égales.
Et donc, contrairement à ce qu'écrivent beaucoup d'élèves, nous n'avons pas le droit d'égaler ces deux dérivées partielles, égalité qui aboutit au "paradoxe" indiqué dans mon premier post.
par nuage » 01 Juin 2009, 15:10
Merci de ta réponse, la question suivante est : comment, sans indications, savoir que ou que ?
par Dominique Lefebvre » 01 Juin 2009, 15:21
nuage a écrit:Merci de ta réponse, la question suivante est : comment, sans indications, savoir queou que
?
Et bien, on fait de la physique, c'est à dire des manips... On peut décider de mesurer P en faisant varier I soit à tension constante, soit à résistance constante. Cela dépend du montage!
par Doraki » 01 Juin 2009, 16:02
Un truc qui me chagrine dans ton post nuage, c'est que tu parles de temps alors qu'il n'a rien à faire au problème. T'aurais pu différencier par rapport à la pression ou tu ce que tu veux de grotesque.
Autant retirer tous les dt :
en différentiant P = UI, on trouve dP = dU.I + U.dI
en différentiant U = RI, on trouve dU = dR.I + R.dI
Si on suppose dR = 0 on peut conclure que dP = 2RI.dI.
Si on suppose dU = 0 on peut conclure que dP = RI.dI, et aussi que dR I + R dI = 0.
Les dérivées partielles c'est bien seulement quand on sait clairement quelle fonction de quelles variables on doit dériver, par rapport à quelle variable (implicitement, toutes les autres variables, qui doivent elles aussi être claires, sont fixées)
Autant retirer tous les dt :
en différentiant P = UI, on trouve dP = dU.I + U.dI
en différentiant U = RI, on trouve dU = dR.I + R.dI
Si on suppose dR = 0 on peut conclure que dP = 2RI.dI.
Si on suppose dU = 0 on peut conclure que dP = RI.dI, et aussi que dR I + R dI = 0.
Les dérivées partielles c'est bien seulement quand on sait clairement quelle fonction de quelles variables on doit dériver, par rapport à quelle variable (implicitement, toutes les autres variables, qui doivent elles aussi être claires, sont fixées)
par Dominique Lefebvre » 01 Juin 2009, 16:26
Maintenant que nous avons établi qu'il était indispensable de préciser la variable "fixée" pour exprimer une EDP, voilà un autre paradoxe qui atténue un peu nos illusions.. Il vient de l'amphi de math pour la physique donné en son temps par Jean-Michel Bony à l'X.
Des équations (2) et (3), tirons deux autres équations, qui ont la même signification mathématique.
Il élève les 2 membres de (2) à la puissance 1/3, ce qui donne:
P^1/3 = U^1/3 * I^1/3
Il fait la même chose avec (3)
P^1/3 = R^1/3 * I^2/3
Puis il construit la fonction P = P^1/3 * P*2^3 (4)
Jusque là rien à dire... C'est pas très physique, mais bon!
De (4), il tire les deux lois suivantes (curieuses mais tout à fait correctes!):
P = U^1/3 * R^2/3 * I^5/3 (5)
P = U^2/3 * R^1/3 * I^4/3 (6)
Maintenant, il dérive (5) et (6) à U = Cte et R = Cte, ce qui donne
pour (5), dP/dI = 5/3*RI
pour (6), dP/dI = 4/3*RI
et donc 5/3 = 4/3 ... Encore un os! Pourquoi?
Des équations (2) et (3), tirons deux autres équations, qui ont la même signification mathématique.
Il élève les 2 membres de (2) à la puissance 1/3, ce qui donne:
P^1/3 = U^1/3 * I^1/3
Il fait la même chose avec (3)
P^1/3 = R^1/3 * I^2/3
Puis il construit la fonction P = P^1/3 * P*2^3 (4)
Jusque là rien à dire... C'est pas très physique, mais bon!
De (4), il tire les deux lois suivantes (curieuses mais tout à fait correctes!):
P = U^1/3 * R^2/3 * I^5/3 (5)
P = U^2/3 * R^1/3 * I^4/3 (6)
Maintenant, il dérive (5) et (6) à U = Cte et R = Cte, ce qui donne
pour (5), dP/dI = 5/3*RI
pour (6), dP/dI = 4/3*RI
et donc 5/3 = 4/3 ... Encore un os! Pourquoi?
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