Quaternions

par **arsene** » 28 Mai 2009, 10:38

bonjour

Soit G un quaternion je veux montrer ces assertions
j ai deja une tentative je ne sais meme pas si c est bon
Jai besoin de vos avis et des pistes pour les questions non resolues

1) tout elt de G est de la forme (a^i)(b^j) avec 0 donc tout elt est de la forme une puissance de a et une puissance de b.
que dois je dire de plus...

[B]2) G a exactement 8 elts
J'ai enumerer {1,a,a^2,a^3,b,ab,b^3,a^3b}
est ce suffisant?

3)Montrer que G est non abelien
ba= a^3 b ab donc g nest pas abelien

4) denombrer les elements d ordre 4 dans G
je compte a,a^3 et ab
y en a til d autre?

5) Montrer qu il existe un seul groupe de quaternion (a isomorphisme pres)
????je ne vois pas comment faire pour montrer ceci

6) montrer qu il existe au moins un groupe de quaternion notamment le sous groupe de Gl (2,C) engendre par les matrices
A=
0 1
-1 0
et B=
0 i
i 0
je ne sais comment montrer cette derniere question

excusez moi pour la redaction.Je ne connais pas le Latex.Je vais faire des efforts pour apprendre a utiliser le latex merci

par **sky-mars** » 28 Mai 2009, 10:43

bonjour comment ça va ? je vais très bien ...

peux tu faire un effort sur la rédaction s'il te plaît !

par **arsene** » 28 Mai 2009, 14:36

Bonsoir
pourkoi personne ne repond a mon sujet?
donner moi des idees svp
merci

par **yos** » 28 Mai 2009, 17:21

arsene a écrit:Soit G un quaternion

Un quaternion est un élément de l'ensemble

des quaternions. Vue la suite, ton G n'est rien de tout ça. Ton G m'a l'air d'être le groupe quaternionique

; c'est-à-dire le groupe multiplicatif à 8 éléments formé des quaternions 1,-1,i,-i, j, -j, k,-k.
Chez toi les éléments sont notés autrement, alors il faudrait que tu nous donne ta définition exacte de G.

par **arsene** » 28 Mai 2009, 20:27

ah oui c vrai je l ai mal dit
G est le groupe des quaternions pas un quaternion
bon dans mon Skript le groupe des quaternions est defini comme un groupe engendré par deux elts a et b et oú l ordre de a est 4, , a^2 = b^2 et
ba = (a^3).b
je crois que cest tout ce que j ai comme difinition ici pour le moment.

par **yos** » 28 Mai 2009, 21:09

Pour la question 1, tu sais qu'un élément de G est un "mot" aaa...abbb...bbbaaa...aaabbb..
Le fait qu'on puisse l'écrire

demande un petit travail.
Pour la question 2, c'est une conséquence de la 1, mais là encore il faut prouver que les 8 éléments que tu donnes sont deux à deux distincts.

par **arsene** » 28 Mai 2009, 23:21

Pour la question 6 est ce que montrer que les matrices verifient les prpoprietes de groupe de quaternions suffit
Pour la 5 je vois kil me fo montrer que sil jai deux groupe des quaternions alors ils sont isomorphes
mais vraiment je deteste les choses abstraites comme ca.
Ouf l algebre!!!

par **arsene** » 28 Mai 2009, 23:29

yos a écrit:Pour la question 1, tu sais qu'un élément de G est un "mot" aaa...abbb...bbbaaa...aaabbb..
Le fait qu'on puisse l'écrire demande un petit travail.
Pour la question 2, c'est une conséquence de la 1, mais là encore il faut prouver que les 8 éléments que tu donnes sont deux à deux distincts.

ok merci je ferai le petit travail

par **arsene** » 30 Mai 2009, 05:54

bonjour
personne ne dit rien a la suite de mon sujet?

par **yos** » 30 Mai 2009, 08:11

arsene a écrit:Pour la question 6 est ce que montrer que les matrices verifient les prpoprietes de groupe de quaternions suffit

Oui puisque c'est la définition de "groupe de quaternions que tu as.

arsene a écrit:Pour la 5 je vois kil me fo montrer que sil jai deux groupe des quaternions alors ils sont isomorphes

Tout dépend où tu en es en théorie des groupes. Mais en gros c'est ça. Tu prends deux groupes de quaternions G= et G'= et tu montres que f(a)=a', f(b)=b' définit de façon naturelle un isomorphisme de G dans G'.

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