Continuité et dérivabilité de la fonction racine en 0

[zar2]

Bonjour,

étant donné que le bac approche et que je suis en terminale S, j'ai voulu regarder, sur inter net, sur le site netprof.fr, des cours de maths en vidéo où on va relativement à l'essentiel (c'est quand même assez détaillé). Seulement, sur la vidéo suivante : http://www.netprof.fr/Voir-le-cours-en-video-flash/Mathematiques/Terminale/Continuite-generalites,5,54,225,1.aspx , vous pourrez voir plusieurs choses intriguantes.

- En effet, d'une part, le prof en question commence par dire qu'une fonction est continue en un point a si on a : f(a) = lim "quand x tend vers a" f(x).
- En suite, il dit la chose suivante : une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en tous les points de cette intervalle.
- En suite il dit une chose qui m'a frappé : la fonction racine carré est continue sur R+...

??? Pourquoi R+ et pas R+* ? Ça veut donc dire qu'elle est continue en 0 ? Je sais que la fonction racine est définie en 0, mais si on met en relation toutes les propriétés listées ci dessus, il y a pas un problème ? En effet, si f est la fonction qui a x associe sa racine carré, f(0) = 0, hors, lim "quand x tend vers 0" f(x) =/= 0 si on x tend vers 0 par valeur inférieur ! (c'est même pas définie par valeur inférieur) Donc, si on s'en tiens à la première propriété listée, la fonction racine n'est pas continue en 0 ! Non ? Et si on s'en tiens à la deuxième, elle n'est pas définie sur R+, R+ incluant 0. Mais bien en R+* non ?

J'ai d'abord pensé que, se trouvant sur inter net, ce qui n'a rien d'officiel, celui qui a fait la vidéo avait pu faire une erreur d'inattention éventuellement (on dit toujours qu'il faut se méfier de ce qu'on trouve sur le net), mais j'ai vérifié sur un autre forum une vieille conversation (cadenassée je crois), j'ai encore vu la même chose : ils disaient que la fonction racine était continue en 0 mais pas dérivable en 0.

Comment ça se fait SVP ? J'ai cru comprendre qu'une fonction était dérivable en un point si sa dérivée au point juste avant était égale à sa dérivée au point juste après (c'est ce que j'y ai lu du moins), mais pour la continuité ?

En vous remerçiant.

[matteo182]

Salut,
En effet la fonction racine carré est définie et CONTINUE en 0, mais non dérivable.
car la fonction est définie en zéro. Donc on a bien :
.

Par contre elle n'est pas dérivable en 0.
Il faut pour cela prendre la définition de la dérivabilité, on arrive alors à
et cette limite n'est pas finie.

J'espère que ca sera plus clair pour toi comme ca!

[zar2]

oké, merci de ta réponse ! :)

[busard_des_roseaux]

bonjour,

je plussoie sur ce qu'écrit Mattéo (bonjour!)

la racine carrée est continue en 0

si l'on souhaite que
ie, que la racine carrée soit très petite,

il suffit que

par contre le taux d'accroissement:



n'a pas de limite (finie) quand tend vers zéro