Développement limité

[Anonyme]

bonjour,
j'ai un petit problème avec cet exercice:
En mettant f(x) sous la forme f(x)=a+bx+xE(x), démontrer que la fonction définie ci-dessous est dérivable en 0 et calculez f'(0):
f(x)=6-3x+xV|x|
avec v : la fonction racine carré

Mon problème c'est que je me dis qu la fonction racine n'est pas dérivable en 0 :(

[Anonyme]

après j'ai la même question mais pour f(x)=xsin(x) (on utilisera le développement limité d'ordre 1 en 0 de la fonction sinus)

[ParLaLaSortie]

Salut,

Tu as raison, la fonction racine n'est pas dérivable en 0, mais cela n'a pas d'importance pour ton problème.

En effet, pour montrer que f est dérivable en 0, il faut étudier la limite du rapport quand x tend vers 0. Dans le cas de ton problème, ce rapport vaut, après un petit calcul:
.

Tu vois que ce qui est important ici, ce n'est pas la dérivabilité de la fonction racine en 0, mais le fait que .

On en déduit que existe et vaut -3.

Ainsi: f est dérivable en 0 et f'(0) = -3.

D'une manière générale, dès que tu peux écrire avec , f est dérivable en 0 avec f'(0) = b.

[Anonyme]

ok merci beaucoup ParLaLaSortie :)

Pour la deuxième f(x) est égal au développement limité de sin(x) en 0 non?

[ParLaLaSortie]

Eh bien pour le deuxième exemple, tu développes sin(x) au voisinage de 0, et tu en déduit pour xsin(x) une expression de la forme a + bx + xE(x) avec a = ..., b= ..., E=..., et tu conclus comme ci-dessus.

Ciao

[Anonyme]

a=0 b=0 et E=sin(x) c'est ça?

[El_Gato]

Au voisinage de 0

donc

donc dans ce cas

fonction qui tend bien vers 0 avec x.

Je dis cela parceque dans ton enoncé ils demandent explicitement un DL. Mais en fait tu peux très bien prendre E(x) = sin(x) comme tu le dis. Je ne vois pas très bien pour quelle raison ils demandent de faire un DL.