Décomposition en éléments simple double

[alex26]

Bonjour,

Voila j'essaie de décomposer en éléments simples la fraction suivante, mais je n'y arrive pas:

F = (1+X*X)^n/P^2

où P=(X-a1)*(X-a2)*...*(X-an)

a1,...an sont des complexes 2 à 2 distincts.
On me dit qu'il faut exprimer les coeff de la décomposition en fonction de P',P'' et que j'aurai peu-être à faire une décomposition en Taylor.

Merci de votre aide.

Alex

[abcd22]

Bonsoir,
La première chose à faire est d'écrire la forme de la décomposition. Ensuite on cherche les coefficients qui sont faciles à trouver (ça en fait n + 1 sur 2n + 1) en utilisant les techniques habituelles (limites à l'infini, multiplication par la puissance qui va bien puis remplacement par a_i), sans s'occuper des indications qui sont données. Ça donne des coefficients compliqués avec des produits, donc là on s'occupe de ce que dit l'énoncé avec P' et P'' et on calcule P'(a_i) pour voir si on ne le trouve pas dans les coefficients par hasard.
Pour les n coefficients restants je crois qu'on ne peut pas se passer d'un développement de Taylor à l'ordre 1 (le tout est de bien choisir ce qu'on développe pour ne pas avoir trop de calculs à faire), mais cherche d'abord le début.