[2nde LLG] Exercices d'entraînement

par **Timothé Lefebvre** » 23 Mai 2009, 11:01

Bonjour à toutes et à tous,

je m'adresse aux élèves de seconde pour qui c'est bientôt la fin de l'année : pas d'examens en vue, pas de stress, rien ...

Je vous propose donc quelques exercices de seconde, issus d'un DS de M. Guy Alarcon, professeur de mathématiques au Lycée Louis-Le-Grand.

Ces exercices, bien que résolvables avec les outils connus en seconde, ont pour but de former l'esprit scientifique des lycéens et demandent donc une certaine ingéniosité.

Assez parlé, voici maintenant les bêtes.

Exercice 1 :

1) Exprimer en un carré :

2) Factoriser alors

On remarquera que

3) Résoudre

4) Préciser pour quelles valeurs

(

),

est un multiple de 8.
Déterminer ensuite l'ensemble des valeurs de

pour lesquelles

est un multiple de 8 sans être multiple de 16.

Exercice 2 :

tel que

et

1) Calculer

2) Calculer

3) Calculer

Exercice 3 :

1) Simplifier

2) En déduire sans méthode de résolution l'ensemble des solutions du système (S) suivant :

Voilà donc les 2 premiers exos d'un DS qui en compte 6, pour une durée de 2h (le dernier exercice ne compte d'ailleurs généralement pas dans le barême).
Je vous rappelle que ces exos sont à résoudre avec les outils de seconde !

Bon courage et bonne journée,

Tim

PS : merci de mettre vos solutions en blanc comme d'habitude

par **Zweig** » 23 Mai 2009, 11:44

Un autre http://img265.imageshack.us/img265/1333/img1gc.jpg

par **Zweig** » 23 Mai 2009, 13:17

Pour l'exo 2, es-tu sûr que ce sont des "-" et non des "+" ?

par **Timothé Lefebvre** » 23 Mai 2009, 13:23

Absolument, pour le 1) c'est bien un "+" et deux "-" pour 2) et 3).

par **Zweig** » 23 Mai 2009, 15:07

Oui oui effectivement.

Exo 1

1. (x^2+5)^2
2. x^4-6x^3+10x^2-30x+25=x^2(x^2+5)-6x(x^2+5)+5(x^2+5)= (x^2 - 6x + 5)(x^2 + 5) = (x-5)(x-1)(x^2+5)
3. x = {5, 1, +- V5}

Exo 2

1. x² + 1/x² = (x+1/x)² - 2 = 11 - 2 = 9

2. x^3 - 1/x^3 = (x-1/x)(x² + 1/x² + 1)

(x - 1/x)² = x² - 2 + 1/x² = 7 => x - 1/x = -V7 car x < 1, d'où x^3 - 1/x^3 = -10V7

3. x^4 - 1/x^4 = (x-1/x)(x + 1/x)(x² + 1/x²) = -V7*V11*9

Je ferai le reste plus tard.

par **Timothé Lefebvre** » 23 Mai 2009, 15:11

Exo 1 : 3) je suis d'accord avec toi pour les deux premières racines mais pas pour plus ou moins

: en effet le dernier terme est

et

n'a pas de solutions réelles.

Sinon le reste me va.

par **Zweig** » 23 Mai 2009, 15:14

Oui, j'ai oublié le i ... J'avais oublié l'espace d'un instant que c'était un DS de Seconde de toute façon ... Quoi que obn, avec Alarcon, ils n'ont pas vraiment le niveau d'un seconde, ils voient pas mal de choses de 1, T°S voire Sup parfois, alors bon ...

par **Olympus** » 23 Mai 2009, 15:14

Merci pour ces exercices !

Je vais les faire dès que j'aurai un peu de temps :we:

par **Timothé Lefebvre** » 23 Mai 2009, 15:18

Ouaip, il avait pas précisé qu'on définissait P(x) dans

mais bien c'est dans ce corps qu'il faut le faire.

Olympus, on attend tes solutions

par **Olympus** » 23 Mai 2009, 16:07

Pour le premier exercice :

1) (x^2 + 5)^2
2) (x^2+5)(x-1)(x-5)
3) S={1;5}
4) E={-7, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 13}
reste encore à trouver les n pour que P soit un multiple de 8 sans être un multiple de 16 .

par **Timothé Lefebvre** » 23 Mai 2009, 16:16

Pour le 4, oui mais pas que. 17 marche-t-il ? Et 19 ? Etc.
Il faut le prouver aussi :)

par **Olympus** » 23 Mai 2009, 16:23

Une erreur s'est glissée dans mon dernier post, correction :

4)E={-7,-3,-1,1,3,5,7,9,13}

EDIT : pour le prouver, il suffit de prendre la factorisation précédente et de lister les différents diviseurs de 8 .

EDIT 2 : ah d'accord .

par **Timothé Lefebvre** » 23 Mai 2009, 16:24

Oui mais même, ce n'est qu'une partie de l'ensemble solution ...

par **Timothé Lefebvre** » 23 Mai 2009, 16:36

Fais une étude de cas sur la parité de n et son implication sur la multiplicité de P(n) par 8 ou pas ...

par **Timothé Lefebvre** » 02 Juin 2009, 17:07

Je remets ce topic à l'ordre du jour, vous intéresse-t-il ?

Je donnerai quelques éléments de réponse ce soir pour les exos ou questions pas encore traités.

par **Timothé Lefebvre** » 03 Juin 2009, 12:47

Eléments de réponse (un peu en retard, désolé).

Exercice 1 :

4) Faire une étude de cas ; quelle est la forme d'un produit de trois nombres, si ce produit est divisible par 8 ?

Exercice 3 :

1) Développer puis tenter de factoriser.

2) La factorisation trouvée en 1 donnera immédiatement la seule possibilité.

par **Zweig** » 03 Juin 2009, 17:04

J'ai oublié de poster la dernière fois l'exo 3

On développe un des trois termes, les autres sont les mêmes à permutation près des variables. Après développements et somme du tout, on arrive à 8(a^2 + b^2 + c^2)

Maintenant, on élève chaque lignes du système au carré et on somme. Le système est donc équivalent à notre identité. On est donc amené à résoudre notre identité = 0 <=> a² + b² + c² = 0 => (a,b,c) = (0,0,0) comme une somme de carrés est toujours positive.

par **Timothé Lefebvre** » 03 Juin 2009, 17:07

Okay pour le raisonnement mais je trouve

par **Zweig** » 03 Juin 2009, 17:09

Impossible, je ne vois pas comment tu peux avoir un facteur 9 alors que les facteurs sont "2" (élevés au carré) : (x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + ..., donc la somme des carrés est forcément paire.

par **Timothé Lefebvre** » 03 Juin 2009, 17:18

Mon développement (je vais essayer de ne pas me tromper en recopiant ) :

Les autres sont des permutations.
En sommant et en factorisant ensuite on arrive à :

Ce qui me donne bien

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