SO(n) borné...

[amstramgram]

Salut à vous !

Je cherche à démontrer que le groupe SO(n) des matrices orthogonales de déterminant 1 est compact. Il est fermé car c'est l'intersection de deux fermés (images réciproques de fermés par les applications continues et ). Mais pourquoi est-il borné ?

J'ai supposé qu'il ne l'était pas et qu'il existe donc une suite A_k de SO(n) telle que . Mais je n'arrive pas à aboutir à une contradiction ?
J'ai commencé par écrire : mais ça ne me donne pas grand chose...
Si je prend comme norme celle qui donne la somme des coefficients de la matrice en valeur absolue, alors A_k et sa transposée auront la même norme et la norme de la matrice identité vaudra n mais toujours bof...

Alors si quelqu'un a une petite idée... :hein:

bonne soirée!

[LB.]

Les endomorphismes orthogonaux préservent la norme, on en déduit directement quelque chose sur leur norme à eux.

[Doraki]

Tu as essayé de borner simplement les coefficients des matrices de SO(n,R) ?

[amstramgram]

Ah ok! Les endomorphismes orthogonaux ont tous pour norme 1... (en prenant la "norme d'applications linéaires") donc SO(n) est bel et bien borné!

merci LB.

Pour ce qui est de borner les coefficients des matrices de SO(n), je vois moins...

[LB.]

De rien.
Pour borner les coefficients (toujours intéressant de voir plusieurs méthodes !), et bien on sait qu'ils s'écrivent comme des cos et des sin, donc c'est vite fait !

[amstramgram]

pas bête! ^^

eh bien, sur ces belles paroles, je vais me coucher!
bonne soirée!