Dérivabilité de la fontion puissance

par **fofinette15** » 22 Mai 2009, 22:23

Bonsoir à tous,

J'ai un soucis dans mon DM sur l'étude des fonctions puissances à exposants strictement positifs. On considère la fonction fa définie sur [0 ; + oo[ par :
fa(0)=0 et, pour tout x>0 fa(x) = x^a.
J'ai déjà démontrer que fa etait dérivable sur ]0 ; +00[ et que
f'a(x) = ax^(a-1).

C'est à la question suivante que je bloque : on pose T(h)=(fa(h)-fa(0))/h.

La question est la suivante : Discuter, suivant les valeurs du réel a, l'existence et la valeur de la limite de T lorsque h tend vers 0 et interpréter graphiquement les résultats.

La limite de T(h) correspond au nombre dérivé de fa en 0 il me semble, donc graphiquement, il doit y avoir des tangentes ... :id:
Mais j'avoue être un peu perdue. Je pense aussi qu'il faut étudier T(h) pour a=1, a<1 et a>1, mais j'ai du mal à rédiger et à vraiment comprendre le problème donc si quelqu'un pouvait m'aider à y voir plus clair cela m'aiderait beaucoup !

Merci d'avance ! :happy2:

PS : Désolé pour les indices mal écrits et pour les parenthèses en trop mais j'ai encore du mal avec la calygraphie mathématique sur le net ^^

par **LB.** » 22 Mai 2009, 22:57

Écrire correctement

et

.

Tu es simplement ramenée à étudier la limite de

en

.
Selon les valeurs de

tu obtiens quelque chose de fini ou non. Et cela correspond en effet à la pente de la tangente en

.

par **fofinette15** » 22 Mai 2009, 23:06

Merci bcp pour votre réponse !
Pour a=1 je trouve limT(h)=1 donc =1
et pour a= 2 je trouve limT(h)=h donc =0
Je ne devrais pas trouver deux valeurs différentes donc je pense qu'il ya un soucis. Désolée mais je suis complétement perdue lol

par **LB.** » 22 Mai 2009, 23:13

Pourquoi tu ne pourrais pas avoir deux valeurs différentes ?
Ça voudrait dire que les courbes des fonctions puissances ont toutes la même tangente en 0 !

Or ce n'est pas le cas : regarde la courbe de x -> x^2, elle est bien "plate" en 0, sa tangente en 0 a bien une pente nulle ;).
Donc non, c'est bon !

Mais il te reste le cas <1 à traiter !

PS : par contre, le résultat est juste, mais je ne suis pas sûre que tu aies bien compris ta démonstration : attention au sens des expressions que tu utilises !
"limT(h)=h" n'a pas de sens, puisque tu fais tendre h vers 0, tu ne peux pas avoir de h dans le résultat !

Proprement, on écrit ça (pour a > 1 ici) :

limT(h) = lim (h^a)/h = lim h^(a-1) = 0

(Car a-1 > 1, et comme h tend vers 0, il est destiné à être < 1 et tu peux alors avoir un encadrement du type, 0 < h^(a-1) < h et conclure par le théorème des gendarmes)

par **fofinette15** » 22 Mai 2009, 23:23

D'accord merci donc pour a < 1 :

limT(h) = lim (h^a)/h = lim h^(a-1) = lim (h^(un réel compris entre -1 et 0))
= 0 ??

par **LB.** » 22 Mai 2009, 23:26

Non. Quelle est la limite de 1/x quand x tend vers 0, x>0 ? (Ou

pour vraiment se mettre au milieu).

Tu peux aussi tracer la courbe de la fonction racine par exemple, et regarder la pente de la tangente. C'est sensé se correspondre

par **fofinette15** » 22 Mai 2009, 23:30

A oui donc c'est égal à la limite de 1/aVh (racine "a-nième" de h) et donc à l'infini ?

par **LB.** » 22 Mai 2009, 23:35

Oui ;) Et donc, que peut-on conclure pour la fonction ?

par **fofinette15** » 22 Mai 2009, 23:39

Qu'elle n'est dérivable que pour a supérieure ou égal à 1 ??

par **LB.** » 23 Mai 2009, 00:03

Oui ! (Plus précisément, "dérivable en 0")

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