Equation fonctionnelle

[Matt_01]

Salut,

Trouver toutes les fonctions strictement croissantes sur vérifiant :
et

(Tirée d'une olympiade marocaine selon mes souvenirs. L'énoncé demandait en réalité de prouver que g(1) valait une certaine valeur, mais je préfère vous faire grâce de cette indice ^^)

PS : elle est relativement facile

[Zweig]

Salut,

Je ne sais pas si c'est une bonne piste, mais (sauf erreur) on prouve que 0 < g(x) <= 1, d'où un changement de variable trigonométrique :hein:

[Matt_01]

Je n'ai pas procédé comme cela, et de plus, l'encadrement que tu donnes n'est pas correcte ^^
PS: L'exercice peut se résoudre aussi si on considère g strictement monotone

[Zweig]

Oui exact, je viens de voir que j'avais fait une petite erreur.

[Matt_01]

Aucune idée ?

[lapras]

Bonjour,
sans réfléchir, il suffit de résoudre une second degré en g et utiliser l'inégalité pour trouver g(x)=(-1/x+sqrt(1/x²+4))/2

[Matt_01]

Salut,

Ce n'est pas l'expression que j'ai, mais cela passe effectivement par la résolution d'une équation du second degré.
Peux-tu détailler tes calculs ? (Il me semble que ta solution ne vérifie pas les conditions (je n'ai pas vérifié pour le cas général, juste en un point))

[lapras]

Je te dis j'ai rien vérifié j'ai écrit ca direct, mais je pense que mon calcul est bon c'est juste g(x)²+g(x)/x-1=0, delta=1/x²+4
apres on utilise g(x)>-1/x et c'est tranquile

[Matt_01]

L'équation du second degré n'est pas correcte. Comment la trouves-tu ?

[lapras]

je développe l'expression g(x)*(g(x)+1/x)=1

[Matt_01]

Il n'y a pas de telle expression ! Tu as zappé un "g" ^^

[Doraki]

On peut aussi supposer g injective seulement.

[Matt_01]

On peut aussi supposer g injective seulement.

Dans le contexte "strictement monotone", oui en effet.
Après si la contrainte est "strictement décroissante (ou croissante)", elle ne peut pas être remplacée par "injective" (auquel cas on ajoute une solution).