Equa dif d'ordre 2.

[dispix]

Bonjour,

Je me retrouve confronté à l'équation suivante :

y" - 2y' + y = x + ch²x

Je cherche à obtenir la solution général de cette équation, j'ai penser effectuer de la manière suivante :

Equation sans second membre associé :
y" - 2y' + y = 0

La solution trouvée serait alors additioné à une solution particulière de l'équation générale pour donner un solution générale.

Cependant je rencontre un problème lors de la recherche de solution particulière pour la première équation (y" - 2y' + y = x + ch²x).

J'avais pensé passer le ch²x en expression exponentielle mais cela ne m'avance pas à grand chose.

Quelqu'un aurait-il une idée de la marche à suivre pour identifier une solution particulière de cette équation ?

Merci d'avance, en restant disponible pour toute question supplémentaire.

[Narhm]

Bonjour

Tu peux commencer par linéariser le cosh ce qui t'ammene à trouver une solution particuliere de

Ensuite il te suffit d'utiliser le théoreme de superposition:
Si f est solution de et g solution de alors f+g est solution particuliere de (E).

Il ne reste donc plus qu'à trouver une solution particuliere de (E1) et de (E2).
Pour (E1) c'est facile puisque le second membre est un polynome. On peut chercher un sol particuliere sous la forme d'un polynome de meme degré.
Pour (E2) aussi, c'est assez simple, le second membre est combinaison linéaire de cosh(2x). On peut chercher une solution particulière sous la forme

[dispix]

Bonjour

Tu peux commencer par linéariser le cosh ce qui t'ammene à trouver une solution particuliere de

Ensuite il te suffit d'utiliser le théoreme de superposition:
Si f est solution de et g solution de alors f+g est solution particuliere de (E).

Il ne reste donc plus qu'à trouver une solution particuliere de (E1) et de (E2).
Pour (E1) c'est facile puisque le second membre est un polynome. On peut chercher un sol particuliere sous la forme d'un polynome de meme degré.
Pour (E2) aussi, c'est assez simple, le second membre est combinaison linéaire de cosh(2x). On peut chercher une solution particulière sous la forme

J'ai suivi ta méthode, en divisant donc en 3 partie (y0, y1 et y2) :





Au final ma solution général vaut :



Pourrais-tu confirmer ce résultat silteplait ?

[Narhm]

L'application ne satisfait pas (E1) :


Pose , calcul y1' et y1'', ensuite détermine a et b pour que y1 soit solution de (E1) en injectant y1 dans (E1) puis en identifiant les coefficients.

De meme l'application ne vérifie pas (E2) puisque
La encore, tu as fait une erreur sur les coefficients.
Pose , calcule y2'(t) et y2''(t) puis détermine pour que y2 soit solution de (E2).

[dispix]

Bon c'est la méthode que j'avais employée, mais comme d'habitude j'ai toujours une co*ille dans mon application numérique T_T

Après recalcule je trouve :

[Narhm]

Salut !

Dans la méthode générale pour résoudre des ED linéaire du 2nd ordre à coefficients constants, on procede comme ceci :

1) On résoud l'équation différentiel sans second membre. Ceci nous donne une fonction dépendant de 2 parametres, nommons la .
Dans ton cas,

2) On détermine une solution particuliere de l'équation différentielle ( avec second membre donc ! ).
Ici, on veut appliquer le Th de superposition, donc on sait que si on trouve une solution de notée et une solution de notée
Alors une solution particuliere de l'ED sera .

3) On peut alors conclure que la solution générale de l'equation différentielle (E) est donnée par la formule

Bref, c'était juste pour clarifier le truc, parce que quand tu me donnes une solution particuliere de l'ed, tu ajoutes toujours un y0 dont on ne sait pas d'ou il sort

Finalement, pour trouver une solution particuliere de (E1), on la cherche sous forme d'un polynome de meme degré que le second membre ( ie deg 1 ):
Soit avec a,b complexe. y1 est solution de (E1) si et seulement si
si et seulement si
si et seulement si
.
Donc est solution de (E1). ( tu peux vérifier au cas ou )

De la même manière pour trouver une solution de (E2) en la cherchant sous la forme , on arrive à déterminer les coeff alpha et beta, et ce sont bien ceux que tu as trouvé
.

Je te laisse donc conclure avec le point 3) de la recette de cuisine des ED linéaire 2n ordre à coef constants


Sauf erreurs...

[dispix]

J'ai repérer mon erreur pour y0, j'ai oublier de mettre la partie linéaire (Ax+B) en facteur de l'exponentielle pour avoir la solution générale.

Merci beaucoup de m'avoir répondu précisément, rapidement et patiemment :)

[Narhm]

De rien :)