Probabilité + Espérance

[Rukh]

Bonjour, c'est la première fois que je m'inscris dans un quelconque site étant lié de près ou de loin au mathématique donc si ma demande n'est pas claire, je vous demande d'être indulgent :happy2:

Alors voici mon problème : Je suis actuellement en 2ème année de licence de mathématique ( je sais pas trop si ça peut aider ou non ) et mon professeur de probabilité nous a demandé d'essayer de résoudre un petit problème pour le prochain cours et je n'ai vraiment aucune idée de la manière de procéder.

Enoncé : On annonce un théorème : Soit X et Y deux v.a. indépendantes de même loi. Alors E[(X-Y)²]=0. Et on fournit un preuve : E[(X-Y)²]=E[(X-X)²]=0
car X et Y on la même loi ( formule des v.a. égales en loi).

Est ce que vous êtes convaincus ?

Ici je sens bien qu'il y a un Hic quelque part mais je n'arrive pas à le trouver.

J'ai un autre exercice du même genre mais je vais d'abord voir si j'arrive à me débrouiller tout seul.

Merci à tous ceux qui pourront m'éclairer et bonne soirée.

[Clise]

Bonjour,

Personnellement, je ne suis pas convaincu, ce n'est pas parce que deux v.a ont mêmes lois qu'elles sont égales. Chacune peut être un "tirage" différent d'une même loi, cependant il est vrai qu'elles ont la même variance et la même espérance. Je pense qu'il faut s'aider de ça et développer l'expression E[(X-Y)²].

[yos]

Soit X et Y deux v.a. indépendantes de même loi. Alors E[(X-Y)²]=0. Et on fournit un preuve : E[(X-Y)²]=E[(X-X)²]=0
car X et Y on la même loi ( formule des v.a. égales en loi).

Je ne parlerais pas de hic : la preuve est tout simplement absurde.
Par ailleurs le théorème est clairement faux car la moyenne de nombre positifs est assez rarement nulle.

[Clise]

Je pense que l'égalité est valide si X et Y sont indépendantes.

[Rukh]

Je vous remerci pour vos réponse.

à Yos : c'est sur que ton argument est recevable mais si tu en avais un qui prenne en comte les propriétés de l'espérance je serais ravi :we:

[Clise]

Je pense que l'égalité est vrai si X et Y sont indépendantes.

J'ai commencé ma preuve par :
Comme E(X) = E(Y)
E[(X-Y)²] = E[(X-E(X) -(Y-E(Y))²] = ...

En développant tu tombes sur des espérances et des variances, et arrive au résultat en considérant que E(XY) = E(X)E(Y) i.e que les variables sont indépendantes.

[yos]

si tu en avais un qui prenne en comte les propriétés de l'espérance je serais ravi :we:

La définition te suffit pas??
X-Y ne prend pas que la valeur 0 (sauf si X=Y, ce qui est très particulier et que j'écarte ici). Donc (X-Y)^2 prend des valeurs z-1,...,z_n dont certaines sont strictement positives. .
Pour t'en convaincre, prends les va associées à deux lancés d'une pièce de monnaie (1 pour pile et 0 pour face).

[yos]

Je peux même te calculer ce que ça fait :

L'égalité E(XY)=E(X)E(Y) provient de l'indépendance.
Mais je le redis : ce n'est pas ça qui devrait te convaincre.

[Clise]

Effectivement, je reviens sur mon poste précédent j'avais fait une faute de signe. Je me range à l'avis de Yos, le théorème est faux dans le cas général.

[yos]

sauf si X=Y, ce qui est très particulier et que j'écarte ici

Moi aussi j'ai dit une stupidité : l'indépendance interdit l'égalité X=Y (X et X ne sont pas indépendantes!!). Donc il n'y a même pas ce cas particulier à regarder.

[Clise]

:zen:
Je me disais bien que sinon j'avais pas tout compris à l'indépendance entre deux variables ^^
Heu sinon, il attend quoi exactement de toi le prof que tu lui fournisse un contre exemple ?

[Joker62]

Si X est presque surement constante, on a X indépendante avec X non ?

[Rukh]

Mon prof voulais simplement qu'on essaie de démontrer si ce théorème étais vrai ou non.
Je pense que le fait de donner un contre exemple serai suffisant mais j'aurais préferer trouver une explication utilisant les propriétés de l'espérance.
Encore merci pour vos réponse !!! :we:

[MathMoiCa]

Propriété de l'espérance et de la variance :



La dernière égalité vient (entre autres) du fait que la variance de la somme de deux va indépendantes est égale à la somme des variances.

Et puisque X et Y suivent la même loi, on a égalité des espérances et des variances :



Maintenant, si tu veux un contre-exemple, il te suffit de prendre une loi qui n'ait pas pour variance 0.

Tu peux essayer avec deux pièces :
X=1 si la première pièce affiche pile. 0 sinon.
Y=1 si la deuxième pièce affiche pile. 0 sinon.
(la proba d'afficher pile est 1/2)

Maintenant, X-Y peut prendre pour valeurs 1 ou 0. À toi de voir quelles sont les probabilités. Ce n'est pas très difficile ^^

Si X est presque surement constante, on a X indépendante avec X non ?

Bawé



M.

[Isomorphisme]

Bonsoir,
Oui bien sûr, mathmoica a raison !
La preuve apparaît comme un sophisme presque.

Prendre par exemple gaussienne standard. donc d'après le théorème qui est faux évidemment, on aurait ce qui est faux évidemment.

[Isomorphisme]

En fait, toute loi symétrique (admettant un moment d'ordre 2) convient comme contre-exemple.