Caractérisation spéciale, intégrale complexe

[Nightmare]

Salut à tous :happy3:

Je vous propose cet exercice amusant dans son résultat :

On se fixe un ouvert borné et .

On suppose que pour toute fonction f harmonique et Lebesgue-intégrable sur :


Que dire de ?

Bon courage :happy3:

[Nightmare]

Pas d'idée?

[Nightmare]

Une idée serait déjà de regarder pour quel ouvert borné particulier le résultat est vrai et de démontrer qu'en fait c'est le seul.

[alavacommejetepousse]

bonjour il est vide ?

[Nightmare]

Non :happy3: Même pas d'intérieur :lol3:

[Arkhnor]

Salut.

Je n'ai pas vraiment réfléchi à ton problème, mais en lisant l'énoncé, je pressens une utilisation de théorème de représentation de Riesz. Je fais fausse route ?

[Nightmare]

A priori c'est beaucoup plus simple que ça !

[LB.]

Les fonctions harmoniques vérifiant la propriété de la moyenne, les disques ouverts me paraissent de bons candidats.
Je vais tenter ça...

Edit : disques de centre , bien sûr.



Comme est harmonique, elle vérifie la propriété de la moyenne, donc l'intégrale à l'intérieur vaut .
On obtient donc simplement au final que l'intégrale sur ce disque vaut , ce qui correspond bien à la mesure de notre disque multipliée par ...

Reste à montrer que ça ne marche que pour eux.
J'y réfléchis.

[Nightmare]

Bingo :happy3:

Comme tu dis reste le plus important, la réciproque. Ce n'est pas très difficile, il faut juste voir ce qu'on veut montrer.

[LB.]

Ça ne me paraît pas simple non plus, dans la mesure où on doit tout de même caractériser un ouvert, avec simplement une propriété relative à une intégrale sur cet ouvert, chose a propri très peu manipulable, pour un ouvert assez quelconque.

Il faut donc aller chercher ailleurs. Je pense qu'on peut déjà montrer qu'il est simplement connexe. Peut être aussi regarder l'intégrale sur la frontière. Mais tout ça ne se ferait pas très bien, pour les mêmes raisons, car reviendrait à calculer des intégrales...

Peut-être au final faut-il utiliser la première idée naïve qu'on peut avoir : trouver une fonction harmonique particulière pour laquelle ce serait faux ?

Sinon, une chose qui me paraît intéressante se base sur la façon la plus simple de caractériser un disque : étudier la frontière de l'ouvert, et montrer que la distance de tout point de cette frontière à est identique...

Je veux bien un tout petit indice :happy2:

[Nightmare]

Le résultat étant vrai, trouver un contre exemple risque d'être ardu !

Comme tu le dis, travailler avec l'intégrale n'est pas pratique, par contre, on peut travailler sur la mesure :lol3:

Je te laisse chercher un peu :happy3:

[LB.]

Le résultat étant vrai, trouver un contre exemple risque d'être ardu !

Je parlais d'un contre exemple dans le cas où l'on prendrait un ouvert qui n'est pas un disque.
Hmm, la mesure donc. Ok, merci.

Edit : la mesure est invariante par rotation.
Soit R la rotation de centre et d'angle . Pour harmonique, est encore harmonique (ça se calcule simplement).

Ainsi l'intégrale de sur , vaut
-d'une part (par invariance de la mesure par rotation et car ), donc aussi l'intégrale de sur ;
-d'autre part vaut l'intégrale de sur

On a donc prouvé que l'intégrale de est identique sur tout ouvert obtenu en tournant l'ouvert initial autour de .

Reste à savoir si c'est suffisant pour conclure :marteau:

Si maintenant cet ouvert n'est pas un disque, alors par ces rotations on peut obtenir deux ouverts différents.

(Edit : Attention, ceci est faux, puisque les couronnes sont un contre-exemple... Ou encore tout ce qu'on peut obtenir en soustrayant à un disque des disques ou des cercles concentriques : mais apparemment, le résultat est encore vrai pour eux (se référer à mon calcul page précédente, on intègre ici sur r entre disons r1 et r2, c'est comme intégrer sur 0...r2 et soustraire l'intégrale sur 0...r1, on sait calculer ces deux intégrales par la formule de la moyenne, et on tombe bien sur l'aire de la couronne...))

Dans le cas où l'ouvert n'est pas invariant par toutes les rotations (cf mon post suivant) il nous suffit maintenant de construire une fonction harmonique telle que les intégrales sur deux tels ouverts ne soient pas identiques. Ce qui doit bien exister...

Par exemple, prendre positive, et étant donné un disque , prendre telle que soit assez grand pour que :
soit

Reste à construire une telle fonction :marteau:

[LB.]

Bon, je vais arrêter là pour ce soir. Si quelqu'un arrive à trouver une fonction qui va bien, ce serait cool

Par contre, deux choses que j'ai remarqué :

-le résultat serait encore vrai pour les couronnes (cf mon édit en italique), et plus globalement, l'intérieur de toute union de cercles de centre . (façon de résumer disques, couronnes, disques privés de couronnes et/ou de disques, de cercles...) : on a réglé le cas des couronnes et des disques, par additivité ça marche pour les disques privés de couronnes etc ; et si on prive de cercles, on ne change pas l'intégrale (le cercle ayant mesure nulle) ni l'aire (même raison).

-je pense que ça ne marche que pour eux, puisque si je ne dis pas de bêtise, un ouvert invariant par toute rotation autour de sera nécessairement de cette forme. (Enfin bon, il reste à finir le travail en trouvant une fonction harmonique qui fait bugger le truc quand on obtient deux ouverts différents quoi...)

Je suis sûr qu'au final il y a beaucoup plus simple, mais bon...

[LB.]

Personne pour poursuivre :) ?

[Nightmare]

Salut :happy3:

J'ai lu un peu ta méthode, je ne comprends pas ton passage avec les couronnes. Quelle est ta conclusion? Que peut tout aussi bien être une couronne?

Bref, l'idée des rotations semblent intéressante mais le problème c'est qu'on ne peut pas balayer tous les ouverts par des rotations en ne partant que d'un seul.

Une méthode pour montrer le problème consiste à montrer que la mesure de notre ouvert privé d'un disque ouvert centré en est nulle. Pour cela, il faudrait réussir à construire une fonction harmonique strictement positive (idée que tu as soumises) d'intégrale nulle sur l'ouvert privé du disque.

Je te laisse cogiter sur cette construction, je posterai une solution si tu ne la trouves pas (ce dont je doute, j'ai quasiment tout dit :lol2: )

:happy3:

[LB.]

Ah oui, pour les couronnes, j'ai dit n'importe quoi, puisque le centre n'est pas dedans... Mais si on prend un disque centré en et qu'on lui rajoute encore une couronne (donc de petit rayon plus grand que celui du disque), ça doit encore fonctionner non ? Il suffit d'écrire l'intégrale. Là où r variait entre 0 et R dans mon premier post, il varierait ici entre 0 et R puis entre R1 (>R) et R2. On se ramène à des disques en jouant sur les bornes en y intercalant des 0, et ça fonctionne.

Ou alors tu as supposé l'ouvert connexe au départ (mais ça n'est pas écrit en tout cas ) ?

Dans ce cas, pour ta suggestion, je suppose qu'on va prendre le disque de rayon l'inf des distances de à la frontière de notre ouvert, ce qui devrait donner que la frontière est justement la même que celle du disque... Mais après, il pourrait y avoir des trous un peu n'importe comment dans notre ouvert... (même si mon post précédent sur les rotations donne envie de dire que ces trous seraient forcément des couronnes, et alors on retombe dans le cas de mon premier paragraphe)

Edit: l'hypothèse de simple connexité au départ règlerait tous ces problèmes, par contre.

[Nightmare]

Re salut :happy3:

Non ça ne marche pas pour les couronnes, justement on ne peut pas se ramener à des disques !

[LB.]

Re ;)

Ah oui ! J'ai complètement oublié la question de l'intégrabilité, quand on se ramène à des disques.

Au temps pour moi.

Du coup mes doutes sont levés et je vais pouvoir m'atteler à montrer que c'est bien un disque :p