Equation différentielle, autre méthode

[Kayri]

Bonjour à tous,
alors voila, j'ai l'équation différentielle suivante à résoudre :
y'' + y = ch(x)

J'ai utilisé une première méthode, à savoir résoudre l'homogène, puis prendre une solution particulière (1/2 ch(x)) pour ensuite mettre tout ça bout à bout, ce qui me donne :
y(x) = Acos(x)+Bsin(x) +(1/2)ch(x)

Mais maintenant je veux le refaire avec la méthode de variation de la constante, que je ne comprend pas très bien, et donc étonnement ... béh j'y arrive pas :briques:
Est-ce-que quelqu'un pourrait m'aider ? merci d'avance :id:

[JJa]

Bonjour Kayn

je te conseille de commencer par quelque chose de plus simple. Il faut d'abord bien maitriser la méthode de la variation de la constante pour les équation différentielles du premier ordre. Exerce-toi sur des exemples d'équations du premier ordre avec second membre.
En effet, la méthode de variation de la constante est nettement plus pénible pour les équations du second ordre (comme celle que tu proposes par exemple).
Pénible ne veut pas dire compliqué : c'est tout aussi simple en principe. Cela veut dire que les calculs sont longs et fastidieux.
En effet, le remplacement d'une constante de la solution de l'équation sans second membre par une variable conduit à réduire l'équation du second ordre avec second membre à une équation du premier odre avec second membre.
Il faut ensuite résoudre cette équation avec la même méthode : résolution sans second membre, variation de la nouvelle constante, etc.
En fait, dans le cas d'une équation du second ordre, la méthode de la variation de la constante est appliquée deux fois de suite à des niveaux différents.
Dans le cas de y''+y=ch(x), on partirait par exemple de y=B.sin(x) en remplacant la constante B par une fonction inconnue de x :
y = B(x).sin(x)
y' = B'sin(x) + B.cos(x)
y'' = B''sin(x) + 2B'cos(x) -B.sin(x)
reportons dans l'équation avec second membre :
y''+y = ch(x)
B''sin(x) + 2B'cos(x) -B.sin(x) +B.sin(x) = ch(x)
B''sin(x) + 2B'cos(x) = ch(x)
Soit F(x) = B'(x)
F'sin(x) + 2F.cos(x) = ch(x)
On est ramené à une équation du premier ordre que l'on résout avec la même méthode : résolution sans second membre, ce qui introduit une nouvelle constante. Puis remplacement de cette constante par une nouvelle fonction. Ensuite, report dans l'équation du premier ordre avec second membre, etc.
Bon courage pour arriver au bout...

[Sulliman]

merci de ton aide, je vais commencer comme tu m'as conseillé par les premiers ordres, bonne continuation