Les cousins du nombre d'or (suites)

[oufbogossss]

bonjour, j'ai un DM de maths et je rencontre quelques problèmes. voilà l'énoncé.

On rappelle que l'équation x2 = 1 + x possède une unique solution positive notée appelée nombre d'or.

1. Étude de l'équation E3 : x3 = 1 + x + x2
On considère la fonction f définie sur R par f(x) = x3 - x2 - x -1
Étudier les variations de f sur R.
En déduire que E3 possède une unique solution positive 3.
Montrer que Phi3 > phi


2. Généralisation
Soit n un entier naturel strictement positif
On considère l'équation En : Xn = 1 + x + x 2 + … + x n-1

2.1) En a une unique solution positive
a) Montrer que En revient à résoudre l'équation 1 = xn * (2-x) avec x different 1.
b) Pour n fixé,on considère la fonction Fn définie sur R par Fn(X) = x (exposant n) *(2-x).
Étudier les variations de Fn sur R+.
En déduire que 1 ne possède que deux antécédents sur R+. En déduire que En possède une unique solution positive Phi n.
c) On peut donc définir une suite de réels (Phi n)n pour n >0 , n étant la solution positive de l'équation En . Montrer en utilisant les variations de Fn, que n-1 plus petit que n et que donc la suite (Phi n)n pour n >0 est strictement croissante .

2.2) Encadrement et convergence de n

a) Montrer que pour tout n appartenant a N* , on a 2n / n+1 0.

pour le 1 j'ai dérivé F. j'ai trouvé 3x2- 2x - 1.
et j'ai trouvé qu'elle est croissante puis décroissante et croissante. Mais je ne sais pas comment montrer que E3 possède une unique solution positive 3.
Montrer que 3 plus grand que .

Je bloque surtout pour le 2.1)a) et c)

[JPzarb]

Bonjour,

Pour la 2.1.a, il faut se rapeller une formule du cours :

Pour tout q différent de 1 : 1+q+q²+...+q^n = ....
(Formule présente normalement dans le cours sur les suites)

Il faut ensuite appliquer cette formule sur En


Pour la 2.1.c, par contre, l'énoncé tel qu'il est écrit n'est pas clair du tout (j'ai l'impression que tu oublis de "phi" un peu partout) du coup on comprend rien, mais globallement on te demande d'étudier la croissance de la suite (Phin)n. Et pour cela il te faut utilisé l'expression de phi n :

On sait que phi n est solution de l'équation :
1= x^n *(2-x)

phi (n-1) est donc solution de ...

En comparant on en déduit : Phi n > Phi n-1 ... donc phi n est ...

Voila quelques pistes.

Bon courage.

A bientot

[oufbogossss]

Ok merci pour ton aide :happy2: seulement pour la formule nous ne l'avons pas dans le cours, on vient de commencer les suites donc on conait la récurrence, les suites géométrique et arithmétique et puis la somme des n premiers termes donc pour la 2.1 je ne vois vraiment pas .

Merci beaucoup pour ton aide .

[Ericovitchi]

Pour calculer 1+q+q²+...+q^n, un bon moyen c'est de poser S=1+q+q²+...+q^n et de calculer qS-S , les termes s'annulent deux à deux, qu'est-ce qui reste ?

[oufbogossss]

c'est bon merci je suis arrivé à tous faire sauf la 2.2 a) et b) pouvez vous m'aider svp .