Laplace

[memphisto]

Comme on sait que:
p/(p²+1)=cos(t).u(t)
1/(p²+1)=sin(t).u(t)

alors les deux premiers termes:
p/(p²+1) + 2/(p²+1)

correpondent à la transformée de la fonction:

cos(t).u(t)+2sin(t).u(t)=(cos(t)+2sin(t)).u(t)

[dele]

4) En deduire l'expression de y(t) sur chacun des intervalles ]-00;0[ et [0;+00[ Complement BB L1 01/96

[memphisto]

pour les deux termes restants: -(p+1)/((p+1)²+1) et -3/((p+1)²+1),
il faut trouver également les transformées inverses.

Par exemple pour 1/((p+1)²+1):
Si f(t) est la fonction d'origine:
L(f(t))(p)=1/((p+1)²+1)=1/(q²+1)=L(sin(t))(q)=L(sin(t))(p+1)=L(sin(t)*e^(-t))(p)

Pour (p+1)/((p+1)²+1):
Si g(t) est la fonction d'origine:
L(g(t))(p)=(p+1)/((p+1)²+1)=q/(q²+1)=L(cos(t))(q)=L(cos(t))(p+1)=L(cos(t)*e^(-t))(p)

donc on en déduit par identification dans l'intégrale de laplace que:

f(t)=sin(t)*e^(-t)*u(t)
g(t)=cos(t)*e^(-t)*u(t)

[memphisto]

finalement on obtient pour x(t):

y(t)=(cos(t)+2sin(t)-cos(t)*e^(-t)-3sin(t)*e^(-t)).u(t)
d'où:
y(t)=((1-e^(-t))cos(t)+(2-3e^(-t))sin(t))u(t)

[dele]

soit maintnan le signal d'entré x1 défini sur R tel que x1(t)=5sin(t).U(t-pi)

a) representer x1
b) quelle relation existe t il entre x(1) et x(t)
c) en deduire x1(p) transformé de laplace de x1(t) puis calculer lexpression de y1(p) transformé du signal de sortie y1 associé a x1.

[memphisto]

bon là il faut utiliser la formule du retard