Laplace

par **dele** » 05 Fév 2006, 17:06

Bonjour,

La fonction H d'un systeme est définie par : H(p)=p/(p^2+2p+2)

on considere le signal d'entrée défini sur R par:
x(t)=0 si t<0
x(t)=5sint si t supérieur ou egale a 0

On se propose de déterminer le signal de sortie y.

1) Déterminer X(p) et Y(p)

2) Calculer les réels a,b,c et d tels que, pour tout reel p, on ait:

(5p)/((p^2+1)(p^2+2p+2))=((ap+b)/(p^2+1))+((cp+d)/(p+1)^2+1

*alor la j'ai commencer a remplacer p=0 je trouve b+(d/2)=0 mé après je prend quel valeur pour p?

Merci d'avance pour vos reponses

par **memphisto** » 05 Fév 2006, 17:23

Pour le (1), commencons par calculer X(p) en transformant par Laplace le signal x(t).
Ensuite on peux appliquer la formule pour le calcul de Y(p). Il me semble que c'est un truc du genre:
Y(p)=H(p)X(p).
Puis par transformation inverse, on recupère y(t).

Pour le (2), il n 'est pas question de prendre quoi que ce soit pour p, puisque la relation doit être vraie pour tout p. Si on regarde bien, il est juste question d'écrire la fraction rationelle en p du membre de gauche de l'égalité sous forme d'éléments simples, comme présenté au membre de droite de cette même égalité.

par **dele** » 05 Fév 2006, 17:28

excuse moi mais j'ai rien compri tu peux detailler ton explication stp ou me donner un exemple j'ai pas mal de chose a ratrapé en math mon niveau est très faible.
merci d'avance

par **memphisto** » 05 Fév 2006, 17:29

Tu sais transformer la fonction x(t) par transformation de Laplace?

par **dele** » 05 Fév 2006, 17:36

alor pour le (1) j'ai essayer peux tu me dire si c'est sa stp.

x(p)=0 si t<0
x(p)= 5/(p²+1) si t sup ou egale a 0

y(p)=h(p).x(p)
y(p)=0 si t <0
y(p)= (p/(p²+2p+2)) (5/(p²+1)) si t sup ou egale a 0
y(p)=(5p)/((p²+1)(p²+2p+2))

donc la la 1er question est fini non?

pour le (2) je comprend pas

par **memphisto** » 05 Fév 2006, 17:49

Voila c'est a peu pres cela.
Il me semble me rappeler que la transformée de laplace est définie pour les p>0. Il n'est donc pas nécessaire de traiter le cas p<0. On obtient:
X(p)= 5/(p²+1)
Il est par ailleurs inutile de dire pour t>0, car puisque la transformer de Laplace est définie par une intégrale en t, pour t variant de 0 a l'infini (avec bien sur pour paramètre le réel positif p), le temps t n'existe plus dans l'expression de X(p). C'est donc une erreur que de dire X(p) egale cela pour t>0.
En fait la transformée de Laplace ressemble fortement à la transformée de Fourier, on peut interpreter les deux transformées comme des opérateurs qui transforment des fonctions temporelles (c'est à dire dont la variable est le temps t), par des fonctions "fréquencielles" (c'est à dire dont la variable est la fréquence p).

Ensuite tu as écrit:

Y(p)=H(p).X(p)
d'où
Y(p)=(p/(p²+2p+2))*(5/(p²+1))=(5p)/((p²+2p+2)*(p²+1))

On retrouve bien le membre de gauche de l'égalité du (2).

par **memphisto** » 05 Fév 2006, 17:55

Alors comment retrouver le membre de droite?
On veut trouver a,b,c,d de telle sorte que l'égalité ait lieu quel que soit p.
Pour cela, il faut mettre le membre de droite sur le même dénominateur. On obtient alors une expression au numérateur qui dépend de a,b,c,d, et le dénominateur est le même que celui du membre de droite.
Une simple identification entre les numérateurs des deux membres (de gauche et de droite) permet de récupérer un petit systèmes d'équations en les inconnues a,b,c,d qui est très simple à résoudre. On récupère comme cela les nombres a,b,c,d, ce qui permet d'exprimer plus simplement le terme H(p)X(p), donc Y(p).

par **dele** » 05 Fév 2006, 17:58

ok je vais essayé ce que tu ma dit pour la question 2 je te remercie beaucoup de m'aider.

pour la question 3) que j'ai essayé de faire je doit calculer les originaux respectifs
j'ai trouver :
p/(p²+1)=cos(t).u(t)
1/(p²+1)=sin(t).u(t)
(p+1)/(p+1)²+1=1/2.t.u(t).1/2.u(t).(1/u(t))+1/2.t.u(t).1/2.u(t)

voila pour les deux 1er je suis pratiquement sure de ma reponse mes pour la derniere pouvez vous vérifier svp.

merci d'avance pour vos reponses

par **dele** » 05 Fév 2006, 18:02

donc pour le (2) j'ai 5p=(ap+b)(p²+2p+2)+(cp+d)(p²+1)

donc je developpe maintenant.

par **dele** » 05 Fév 2006, 18:05

je trouve:

5p=ap^3+2ap²+2ap+bp²+2bp+2b+cp^3+cp+dp²+d

avec sa je fais quoi?

par **memphisto** » 05 Fév 2006, 18:07

Attention, ce que tu notes "=" n'est pas une égalité mais une transformation par Laplace. Donc par exemple:
p/(p²+1)=Laplace(cos(t).u(t))(p),
c'est à dire: "la transformée de laplace de la fonction cos(t).u(t) en la valeur p est égale à p/(p²+1)"

Bon la troisième transformation je la trouve douteuse. Je n'ai pas actuellement sur moi tout mon cerveau, donc je ne peux pas vérifier mais à vue de nez ce n'est pas cela.

Petite question: Comprends-tu bien le rôle de u(t) ?

par **dele** » 05 Fév 2006, 18:11

oui pour le "=" je savais c'était pour écrire plus vite.
Le role de u(t) ben non pas trop en faite je la trouve assez dfficile cette lecon mais la se que tu ma expliquer je pense pouvoir le refaire tout seul.

par **memphisto** » 05 Fév 2006, 18:15

Pour le (2):
le membre de droite vaut:
((ap+b)/(p^2+1))+((cp+d)/((p+1)^2+1))
=((a+c)p^3+(2a+b+d)p²+(2a+2b+c)p+(2b+d))/((p²+1)(p²+2p+2))
le membre de gauche vaut:
(5p)/((p^2+1)(p^2+2p+2))

on obtient:
5p=(a+c)p^3+(2a+b+d)p²+(2a+2b+c)p+(2b+d),
d'où le système:
a+c=0
2a+b+d=0
2a+2b+c=5
2b+d=0

par **dele** » 05 Fév 2006, 18:22

oui j'ai su trouver sa mais après jarive pa a le resoudre :s tu va te dire ke je suis vremen nul ba tu peut mais j'ai jamais bosser en math ya pas lontem ke j'ai eu le declik de m'y mettre mais c'est trè dur.

par **dele** » 05 Fév 2006, 18:26

sinon pour les calcul des originaux il me reste (p+1)/((p+1)²+1) et 1/((p+1)²+1) bon sa c'est selement si ta le courage lol.

4) En deduire l'expression de y(t) sur chacun des intervalles ]-00;0[ et [0;+00[ Complement BB L1 01/96

donc la je prend Y(p) et je le transforme ver y(t) c'est bien sa?

par **memphisto** » 05 Fév 2006, 18:30

u(t) est la fonction qui est nulle sur les réels négatifs et qui vaut 1 sur les réels positifs.
Comme dans la transformée de Laplace on désir intégrer de -infini à +infini, en multipliant x(t) par la fonction u(t), ce produit devient nul pour les t<0, et donc l'intégrale définissant la transformée de Laplage converge quand même, bien que la pondération e^(-pt) tende vers l'infini lorsque t tend vers -infini.

par **dele** » 05 Fév 2006, 18:32

excuse moi mais j'ai absolument rien compri a se que tu vien de me dire chui dsl

par **memphisto** » 05 Fév 2006, 18:38

a+c=0
2a+b+d=0
2a+2b+c=5
2b+d=0

c=-a donc 2a+2b+c=5 devient:
a+2b=5
donc a=5-2b d'où 2a+b+d=0 devient:
10-3b+d=0, d'où d=3b-10.
En remplaçant cette expression de d dans 2b+d=0, on obtient:
5b=10, d'où b=2, donc d=-4, a=1 et c=-1.

par **memphisto** » 05 Fév 2006, 18:40

Je t ai envoyé un msg privé avec mon msn. Contact moi.

par **memphisto** » 05 Fév 2006, 18:59

Y(p)=H(p)X(p)=(5p)/((p²+1)(p²+2p+2))=
(p+2)/(p²+1)+(-p-4)/((p+1)²+1)=
(p+2)/(p²+1)-(p+4)/((p+1)²+1)=
p/(p²+1) + 2/(p²+1) - (p+1)/((p+1)²+1) - 3/((p+1)²+1)

Laplace

laplace

Qui est en ligne