Salut :happy3:
Une idée : Je me suis demandé pourquoi a=0. Il est clair que A (notre matrice) n'est diagonalisable que si a=0. Il suffirait donc de montrer que si A est atteinte par exp alors elle est diagonalisable, a fortiori cela reviendrait à montrer qu'un antécédent de A par exp est diagonalisable puisqu'on a toujours X diag => exp(X) diag.
Soit B un antécédent de A par exp. Je regarde ce qu'il se passe du côté des valeurs propres :
On a
Or,
(facile en trigonalisant B dans
)
On en déduit que
. Par conséquent,
. En fait, on a exactement
puisque B est réelle et qu'a fortiori ses valeurs propres complexes sont conjuguées.
Bref, B est diagonalisable (2 valeurs propres distinctes) d'où A aussi. CQFD
Edit : Je me pensais pas capable de pondre ça à 4h du mat' ...