équa diff

[dim20]

Bonjour,
j'ai une question sur une équa diff : comment on peut intégrer une équation diff, genre 4*x*y'' + 2*y' - y = 0 sur R\{0,1}

est-ce que vous pouvez me donner quelques consignes?
merci

[Pythales]

Essaye de trouver une solution dévellopable en série entière dont le rayon de convergence ne soit pas nul.

[dim20]

j'ai essayé de trouver une solution développable mais j'ai un problème avec la somme de série suivante :

somme de: n=0 jusqu'à l'infini de (x^n)/(2*n+2)!

Comment je peut trouver la fonction en partant de cette somme de série?
désolé pour l'écriture.

Merci ...

[Pythales]

Le théorème de Fuchs dit que tu dois trouver comme solutions des séries de la forme :


Tu n'es pas obligé de retrouver des fonctions "classiques". Le tout est que les rayons de convergence ne soient pas nuls (ce qui est le cas).
Personnellement, j'ai trouvé pour la 1ère, sauf erreur,

[JJa]

Bonjour,

ce n'est pas très compliqué avec un changement de variable :
Pour x>0, on pose x=X², ce qui conduit à :
d²y/dX² -y = 0
d'où les solutions :
y(x) = A.ch(sqrt(x)) + B.sh(sqrt(x))
Et pour x<0, on pose x=-X² ce qui conduit à :
d²y/dX² +y = 0
d'où les solutions :
y(x) = A.cos(sqrt(-x)) + B.sin(sqrt(-x))
( A et B sont des constantes quelconques )

[ Correction faite, suite à la remarque tout à fait justifiée de Pythales]

[Pythales]

Bien vu JJa (je crois que tu as inversé les solutions)
C'est vrai que si

[dim20]

mais en fait moi je bloque sur la somme de série, notamment sur le (2*n +2)! car à la fin je dois obtenir une fonction simple comme solution de l'équa diff et donc cette solution c'est ce que je cherche à partir de la somme de série, que j'avais écrit avant...

à +

[JJa]

Bonjour Dim20,

somme de: n=0 jusqu'à l'infini de (x^n)/(2*n+2)! =
= somme de: N=1 jusqu'à l'infini de (x^(N-1))/(2*N)! =
= (1/x)*somme de: N=1 jusqu'à l'infini de (x^N)/(2*N)!
= (1/x)*[(somme de: N=0 jusqu'à l'infini de (x^N)/(2*N)!)-1]
= (1/x)*[(somme de: N=0 jusqu'à l'infini de (sqrt(x)^(2N))/(2*N)!)-1]
= (1/x)*[ch(sqrt(x))-1]
car somme de: N=0 jusqu'à l'infini de (t^(2N))/(2*N)!) = ch(t)
et ici, on a : t=sqrt(x)

Remarque : je ne sais pas comment tu as obtenu ta série :
somme de: n=0 jusqu'à l'infini de (x^n)/(2*n+2)!
mais ce n'est pas une solution de l'équation.
Comme Pythales te l'a indiqué, tu aurais du obtenir la série :
somme de: n=0 jusqu'à l'infini de (x^n)/(2*n)!
qui est égale à ch(sqrt(x))

[Pythales]

JJ(a?) , en réfléchissant, j'ai trouvé une 3ème méthode :
Les solutions de l'équation sont aussi celles de soit
Sur on obtient soit
Sur on obtient et soit et

[JJa]

Oui, très bien, elle est belle !
Et bien entendu, on obtient la même chose.

[dim20]

ce n'est pas très compliqué avec un changement de variable :
Pour x>0, on pose x=X², ce qui conduit à :
d²y/dX² -y = 0
d'où les solutions :
y(x) = A.ch(sqrt(x)) + B.sh(sqrt(x))
Et pour x<0, on pose x=-X² ce qui conduit à :
d²y/dX² +y = 0
d'où les solutions :
y(x) = A.cos(sqrt(-x)) + B.sin(sqrt(-x))
( A et B sont des constantes quelconques )

bonsoir JJa
en fait j'ai pas trop compris ce que tu m'explique dans ce passage, notamment d²y/dX² -y = 0 d'où ça vient?

je tiens à vous remercier pour l'aide accordé, ça ma permis de retrouver la faute que je faisais.

à +

[JJa]

Bonjour,

ca vient tout bêtement du changement de variable x=X²
dx=2X.dX donc (dX/dx)=1/(2X)
(dy/dx) = (dy/dX)(dX/dx) = (dy/dX)/(2X)
(d²y/dx²) = d(dy/dx)/dx = (d(dy/dx)/dX)(dX/dx)=
= [d((dy/dX)/(2X))/dX](dX/dx)
= [(d²y/dX²)/(2X) -(dy/dX)/(2X²)](1/(2X))
= (d²y/dX²)/(4X²) -(dy/dX)/(4(X^3))
4*x*(d²y/dx²) + 2*(dy/dx)- y = 0
4(X²)[(d²y/dX²)/(4X²) -(dy/dX)/(4(X^3))+2(dy/dX)/(2X)-y] = 0
(d²y/dX²) -(dy/dX)/X +(dy/dX)/X -y = 0
(d²y/dX²) -y = 0