Extension d'homomorphisme

[Joker62]

Haileauuuu !

J'aimerais savoir si on se donne un homomorphisme H : A ---> B avec A un sous anneau de B un anneau, est-ce-qu'on peut l'étendre de manière unique (ou pas) à un homomorphisme de corps H_s : A_s ---> B_s où A_s et B_s sont les corps de fraction de A et B respectivement ?

Je suis entrain de bosser avec les Dérivation sur les anneaux et j'ai réussi à trouver une correspondance Biunivoque entre les dérivations de A dans B et les homomorphismes de A dans avec Delta l'ensemble des nombres dual
J'aimerais pouvoir étendre mes dérivations sur les corps de fraction correspondant mais il faut que je passe par les homomorphisme avant.

J'ai une démonstration issue du livre Basic Algebra II de Jacboson mais j'arrive pas trop à la comprendre :/

En vous remerciant.

PS : si vous voulez la preuve de Jacobson, y'a pas de soucis.

[Doraki]

Si un Hs existe alors
Hs(a/b) * Hs(b/1) = Hs(a/1), donc
Hs(a/b) * H(b) = H(a).

Si b est non nul et H(b)=0, ben tu vas pas pouvoir trouver de Hs(1/b).
Et si H est injectif, alors on a nécessairement Hs(a/b) = H(a) / H(b),
et le Hs ainsi défini est compatible avec + - * / comme il faut.

[ffpower]

lut.Il est commutatif ton anneau?(c est que je suis pas tres doué en non commutatif,je sais meme pas a quoi ressemble le corps des fracions..).Disons qu il est commutatif(je suppose que ca doit marcher de la meme maniere ennon commutatif,mais bon..):il suffit alors je pense de définir pour p dans A,q dans A-{0},H_s(p/q)=H(p)/H(q).Cette definition est valide,ie ne depend pas du choix de p et q car si p/q=r/s,ps=qr donc H(p)H(s)=H(q)H(r) sonc H(p)/H(q)=H(r)/H(s).On verifie facilement que H_s ainsi défini est un homomorphisme.Cette methode marche que si on a : p diff de 0=>H(p) diff de 0.Si ce n est pas le cas,on ne peut a priori pas prolonger(car un homomorphisme de corps ne s annule qu en 0 a cause de l existence d inverse..)

[Joker62]

Bonjour à vous 2,

Oui il était commutatif l'anneau désolé :$
Donc à priori seul l'injectivité est nécessaire.
J'vais aller bucher sur ça aujourd'hui

Un grand merci :)