Combinatoire retors

[Olivier7121]

Bonjour,

Je n'arrive pas à prouver cette formule:


Cette égalité devrait être vraie (en fait le résultat final, que je connais, dépend de cette somme et nécessite qu'elle soit égale à -1). J'ai vérifié numériquement sur Excel (voir fichier joint ici ), ça marche pour des nombres "pas trop grands" (après il y a des problèmes informatiques d'arrondis).
J'ai cherché du côté de la formule binomiale puis multinomiale, de la convolution de Vandermonde, sans succès. Ca fait penser à une sorte de relation de Chasles sur les coefficients binomiaux. Bref c'est peut-être très simple mais je n'arrive pas à trouver !
Si quelqu'un sait quelle formule se cache derrière cette égalité (ou si je me trompe), ça m'arrangerait beaucoup !

Bonne soirée.

[Olivier7121]

Pas d'idée ?

[skilveg]

J'ai une idée compliquée mais qui marche: calculer les séries génératrices des deux suites doubles. Je ne sais pas comment joindre un fichier mais si tu veux je t'envoie le détail des calculs par mail.

(D'ailleurs, si un gentil modérateur pouvait m'indiquer comment attacher un fichier au post, ça m'intéresserait...)

[Olivier7121]

Bonjour,

Je suis curieux de voir ta solution. Tu peux toujours uploader ton fichier sur free: site d'upload.

[skilveg]

Bonjour,

J'envoie ça cet après-midi dès que je rentre. Par curiosité, où est-ce que cette identité intervient? Et est-ce que tu as finalement trouvé une preuve «élémentaire»?

[Olivier7121]

On part du modèle autorégressif vectoriel (VARM = Vector AutoRegressive Model) suivant sur la série temporelle :

avec

et l'opérateur retard tel que

et enfin un bruit blanc.
Les sont des matrices carrées de dimension le nombre de lignes de .
L'objectif est de transformer le VARM en VECM (Vector Error Correction Model) qui s'écrit

avec l'opérateur de différence arrière, .

C'est cette transformation que j'essaie de prouver, en particulier j'essaie d'expliciter comment on obtient les coefficients (matriciels) en fonction des . Dans les bouquins les auteurs passent toujours sur cette étape de transformation qui n'est pas très intéressante en soi, mais je voudrais le prouver pour moi-même.
L'idée est de réécrire le polynôme (pris au point 1) grâce à la formule de Taylor-Young et ensuite, ça n'est que du calcul.
C'est justement dans cette étape de calcul que le problème intervient. Je suis sûr qu'il doit y avoir un moyen plus simple de prouver cette transformation mais pour le moment je ne l'ai pas trouvé.

[EDIT] Qu'est-ce que tu appelles preuve élémentaire ?

[skilveg]

Les calculs sont ici: http://dl.free.fr/o6ueON2Uc. C'est complètement formel, donc plus ou moins insatisfaisant selon le degré de rigueur que tu veux...

Par preuve élémentaire je voulais juste dire une preuve plus simple.
Sinon, il me semble qu'il existe un livre qui liste plein d'identités combinatoires, non? Celle-ci y est peut-être.

Bonne continuation

[Olivier7121]

OK je vais regarder ça.
Non je n'ai pas trouvé de preuve plus simple jusqu'à maintenant.
Sinon je n'ai pas trouvé le livre qui liste les identités. Mais je vais continuer à chercher.
En tout cas merci d'avoir consacré du temps à mon problème.

Bonne soirée.

[Olivier7121]

Au cas où ça intéresse quelqu'un, j'ai mis ma solution (plus simple je pense) ici.
(j)en exposant signifie dérivée j-ème.

[yos]

C'est bien vu.
L'identité est (sans preuve) dans le livre de Comtet (introuvable sauf en bibliothèque).

[Olivier7121]

Merci pour la référence.
Est-ce que tu aurais le numéro de page ainsi que le tome (je pense qu'il s'agit de Analyse Combinatoire de Louis Comtet) ? Parce que j'essaie de la chercher sur ce site .

[yos]

tome 1 page 177

[Zweig]

C'est bien vu.
L'identité est (sans preuve) dans le livre de Comtet (introuvable sauf en bibliothèque).

J'ai les deux volumes en français et au format DJVU si ça intéresse quelqu'un ...

[skilveg]

Apparemment il y a une autre référence pour ce genre d'identités: Gould, Combinatorial identities. Mais là non plus il n'y a pas de preuves.