Tangentes perpendiculaires entre elles...

par **grand charles** » 02 Mai 2009, 08:42

Bonjour!
Je coince sur cet exercice :
Soit f la fonction définie sur R par : f(x)= -x²+5x-4 et P sa représentation dans un repère orthonormal.
[B]Déterminer l'ensemble des points qui appartiennent à deux tangentes à P, perpendiculaires entre elles.
Merci!

par **Euler07** » 02 Mai 2009, 08:43

Bonjour t'as commencé à faire quelque chose ?

par **grand charles** » 02 Mai 2009, 08:52

Oui, j'avais deux trois pistes, mais je n'arrive pas à en tirer des réponses.
Par exemple, j'ai penser à prendre deux tangentes Ta et Tb dc les équations sont Ta : y=(-2a+5)x+a²-4 et Tb pareil, avec b a la place de a
et donc, je me suis dis : deux droites sont perpendiculaires ssi le produit de leur coef dir est égal à -1
Et donc (-2a+5)(-ab+5) = -1
Bla bla je trouve a=26/6b
et ça m'arrange pas franchement d'exprimer a en fonctionde b...

par **grand charles** » 02 Mai 2009, 09:08

Bon, alors j'ai quand même tenté de remplacer a dans l'équation de la tangente, mais ça donne vraiment rien de chouette.

Sinon, j'ai tenté la piste des vecteur normaux.
na ( (-2a+5) ; (a²-4) )
nb ( ( 2b+5) ; (b²-4) )
condition de perpendicularité xx'+yy' = 0
je tombe sur ab(-6 - 3ab)=-41
:mur:

par **grand charles** » 02 Mai 2009, 15:29

:cry: Personne ne peux m'aider... Je ne sors pas de ce raisonnement pourtant je suis sûrement sur la mauvaise piste. C'est terrible de tourner seul en rond...

par **Ericovitchi** » 02 Mai 2009, 16:34

Tu as déjà trouvé pas mal de choses.
Récapitulons :
Une tangente a pour équation

correct

Donc un point (x,y) qui appartient à deux tangentes satisfait le système

Et en plus elles doivent être perpendiculaires donc (-2a+5)(-2b+5)=-1

Ca n'est pas très difficile à résoudre. Résous le premier système en trouvant x et y (ça donne x=(a+b)/2, y= ....
puis à l'aide de la seconde relation (remplaces les ab par les a+b et poses a+b = t pour respecter la symétrie du problème) tu devrais trouver x et y fonction d'un seul paramètre (t) ce qui te donnera en fait les équations paramétriques de la courbe recherchée et si tu élimines le paramètre, tu trouveras la courbe.

PS. c'est une propriété connue de la parabole, tu dois trouver une droite parallèle à l'axe des x

par **grand charles** » 02 Mai 2009, 17:37

Bonsoir, et merci de me répondre !
Je tente de résoudre le système pour trouver x et y.
Là, je patauge. Jessaye d'exprimer x en fonction de tout le retse, puis de le remplacer dans la seconde équation de tangente?

par **grand charles** » 02 Mai 2009, 17:50

Parce que, si on prend y=(-2a+5)x+a²-4 , et que l'on exprime x en fonction, on exprimera x en fonction de y...ce que ne me permet aps d'arriver au résultat que vous annonciez...

par **grand charles** » 02 Mai 2009, 18:10

On obtiendrait y= (3ab-8)/2
Mais je ne comprends pas comment vous trouvez x. POuvez vous me mettre sur la voie?

par **Ericovitchi** » 02 Mai 2009, 18:23

Déjà

est facile à résoudre. Il faut mettre tous les x d'un coté

et en se souvenant que

il y a un (b-a) qui se simplifie
et ça donne

Ensuite tu remplaces x par (a+b)/2 dans l'une des deux expressions et tu simplifies. Ca donne

Ensuite en exploitant (-2a+5)(-2b+5)=-1 il faut que tu arrives à te débarrasser des a et b en créant une seule équation en x,y
Ça n'est pas difficile. respectes bien la symétrie des expressions en a et b.

par **grand charles** » 03 Mai 2009, 08:42

Wouha! Merci Ericovitchi !
Après quelques heures de calcul ( à cause d'une erreur qui s'était glissée dans un paramètre) je suis arrivé à un résultat plausible.
J'aime ce principe, qui consiste à nous guider, mais pas nous mâcher le travail... On a plus l'impression de remporter une petite victoire !
Merci de ne pas m'avoir laissé tomber.

par **Littlest** » 03 Mai 2009, 11:12

J'ai le même exercice que toi grand charles à faire, et je n'arrive pas à résoudre: (-2a+5) (-2b+5) = -1 :hein:
Si tu pouvais m'expliquer comment tu as fait, ce serait gentil, merci

par **Ericovitchi** » 03 Mai 2009, 12:32

mais a+b = 2x donc

Remplaçons a+b et ab dans

qui est l'équation d'une droite parallèle à l'axe des x.

Il y a un très beau dessin dans Wikipedia qui vous montre cette propriété relative à l'orthoptique de la parabole

par **Littlest** » 03 Mai 2009, 14:45

Donc si j'ai bien compris l'ensemble des points qui appartiennent à deux tangentes à P, perpendiculaires entre elles, est la droite d'équation y= 5/2

par **Ericovitchi** » 03 Mai 2009, 14:47

Oui Bravissimo

par **Littlest** » 03 Mai 2009, 14:52

Ok, merci beaucoup!
Je suis rassuré, j'ai enfin terminé cet exercice sur lequel j'ai planché pendant toutes mes vacances!
Tu m'as été d'un grand secours!

par **leperedeslimites** » 03 Mai 2009, 16:40

merci beaucoup
j'ai le même exercice à faire
sans vous j'étais fichu !

Tangentes perpendiculaires entre elles...

tangentes perpendiculaires entre elles...

Sos

Merci pour ton aide

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