[1ere S] Transformation de plan

[tony57600]

Bonjour,

J'aurais besoin d'une aide pour faire un devoir supplémentaire que mon professeur de math m'a fourni pour m'améliorer sur le cour des transformation de plan.
Le problème est que je ne comprend pas la façon de travailler de mon professeur sur ce cour, je m'en remet donc à vous avec un exercice qu'il m'a envoyer en PDF.

Mon but est d'avoir quelqu'un qui m'aide à rédiger un bon corriger type pour ce devoir de tel sorte à ce que je comprenne les transformations de plan de façon plus approfondi.

Enoncé de l'exercice :


Soit A, B et C trois points tels que B est le milieu de [AC]. On construit les cercles Ca et Cb de centre C, passant respectivement par A et B.
Un point M décrit le cercle Cb.
La tangente au cercle Cb en M coupe le cercle Ca en deux points N et P.
Les tangentes au cercle Ca en N et P sont sécantes au point Q.

1) Démontrer que les points C, M et Q sont alignés et que MQ = 3 MC.

2) Déterminer une homothétie de centre C qui transforme M en Q.

3) En déduire le lieu géométrique du point Q lorsque M décrit le cercle Cb.

Voici la figure :



Merci d'avance de votre aide.

Tony

[greg78]

Bonjour,
qu'as tu déjà fait dans ce problème ? Es tu bloqué pour montrer l'alignement des points ? Si tu as du mal pour ça, considère les triangles CPN et QPN.

[tony57600]

J'ai démontrer que les points sont alignés mais je n'arrive pas à montrer que MQ = 3MC

En claire j'ai essayer de trouver des solutions pour les 3 questions avant de poster mais je n'y arrive pas je l'avoue.
Cet exercice est-il si difficile que ça ?

[greg78]

Pour la géométrie dans le plan il n'y a pas vraiment de secret. Soit tu es capable de bien te représenter les choses et alors ca viens immédiatement. Soit ce n'est pas ton cas (ce n'est pas le mien non plus) et à ce moment il essayer d'être méthodique. Qu'a-t-on comme information sur cette figure ?
- deux cercles dont le rayon de l'un est deux fois celui du premier ->CN=2*MC
- plusieurs triangles définis par la construction des tangentes. On a donc des triangles rectangles : MCN, MNQ et NQC -> pythagore
- encore des triangles mais qui sont isoceles : PCN et NQP -> égalités de longeurs et d'angles à la base

Voilà en gros les éléments importants qu'on dire de la figure. A partir de ca que peut-on utiliser pour répondre à la question qui nous intéresse ?
Pour cette question de rapport on va avoir besoin d'exprimer MQ en fontion de MC. Sont-il dans un même élément remarquable ? -> Non, donc on ne peut pas les mettre en relation de facon immédiate. Il faut donc se lancer en gardant bien l'objectif en tête. L'hypothèse qui semble pouvoir offrir le plus de relations est...
Donc maintenant, il ne te reste qu'à établir ces relations et les mélanger un peu pour obtenir ton résultat.

Bon courage

[tony57600]

Merci pour l'avancement mais j'essaye toujours en vain d'avancer...

Je vois bien tout les détails mais je n'arrive pas à mettre tout ensemble, vous avez trouver la solution vous ? Sinon quelqu'un pourrait-il me rédiger ce corriger type ?
Je sais que j'en demande beaucoup et que ce n'est normalement pas votre but, mais comme pour une fois c'est un devoir facultatif je pense que ça ne fait rien :zen:

Sincères salutations.

Tony

[tony57600]

Modification car avancement dans l'exercice.

[tony57600]

Voici le 1) rédigé :
1) Le symétrique de N par rapport à (MC) est P parce que (MC) est la médiatrice de (NP).
C étant équidistant de N et de P et (MC) étant orthogonal à (NP).
Le symétrique de C par rapport à (MC) est C.
Donc la symétrie de (PC) est (NC).
Et donc la symétrique de la perpendiculaire à (PC) en P est la perpendiculaire à (NC) en N.
En conséquent ces 2 droites ce coupent sur l'axe de symétrie c'est à dire que Q est aligné avec M et C.

A présent je vais exprimer MQ en fonction de MC :

QNC CMN et QMN sont des triangles rectangles donc on peu utiliser la propriété de Pythagore pour chacun d'eux :
Pour QNC : CQ²=NQ²+NC² (1)
Pour CMN : NC²=MN²+MC² (2)
Pour QMN : NQ²=MQ²+MN² (3)

A partir de ses expressions j'exprime MQ en fonction de MC :

QM²=QN²-MN²
QM²= (QC²-NC²)-(NC²-MC²) [en utilisant (1) et (2)]
QM²= (QM+MC) ²-2NC²+MC² [en utilisant que Q, M et C sont alignés]
QM²=QM²+2QM*MC-2NC²+2MC²
Comme de plus MC=CN/2 on obtient :
0=2QM*MC-2*(2MC) ²+2MC², soit
2QM*MC=6MC², soit
QM=3MC

Merci surtout à Greg !

[tony57600]

Je fait un petit UP