Géométrie terminale S

[Caro45]

Bonjour tout le monde,
j'aimerais une aide

Soit a un réel strictement positif et OABC un tétraèdre tel que

OAB,OAC,OBC sont des triangles rectangles en O.
OA=OB=OC=a

On appelle I le pied de la hauteur issue de C du triangle ABC,H le pied de la hauteur issue de O du triangle OIC, et D le point de l'espace défini par HO=OD (en vecteur).

1) Quelle est la nature du triangle ABC ?

Je dirai que c'est un triangle équilatéral mais aucune idée comment le prouver.

[Caro45]

S'il vous plait.... !

[Ericovitchi]

Tu vois bien que les 3 triangles OAB, OAC et OBC sont tous les 3 rectangles et avec des cotés de part et d'autre de l'angle droit égaux OA=OB=OC=a. Leur hypoténuse vaut donc (la diagonale d'un carré) et AB=BC=CA

[Caro45]

Merci beaucoup.

Dans la question d'après il faut prouver que (OH) et (AB) sont orthogonales puis que H est l'orthocentre de ABC.

J'imagine qu'il faut montrer que OH.AB (vecteurs)=0

mais je n'y arrive passs!!!!!! ='(

[Ericovitchi]

Oui ça s'appelle le théorème des 3 perpendiculaires.
OH est orthogonale à AB car elle orthogonale au plan ABC (qui contient AB).

(quand une droite est perpendiculaire à un plan, elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan)

Pour l'orthocentre. Essayes de démontrer que AH est perpendiculaire à BC (parce qu'une fois que tu auras fait ça ça voudra dire que AH est une hauteur du triangle ABC et que H est le point de concours de 2 hauteurs donc l'orthocentre).
Pour démontrer ça penses que BC est à la fois perpendiculaire à OH et à AO donc au plan AOH qui la coupe suivant un angle droit.

Si tu as du mal à visualiser penses que ta figure est en fait un cube coupé en deux par la diagonale.