Groupe MPSI

[_-Gaara-_]

Salut à tous,

j'aurais besoin d'aide sur celui là ;)

Soit un groupe (I,.) ( xD ) de neutre 1.

Soit a dans I. montrer que Gr(a) = {x dans I tel que il existe k dans Z x=a^k}

Gr(a) c'est le ssgpe engendré par a.

Merci beaucoupp !!

Peut on dire que un sous groupe de I contenant a est nécessairement de la forme H = {1, a, a.a, ... } ??
et si oui pourquoi ?

[skilveg]

C'est quoi ta définition de sous-groupe engendré? En général, comment tu fais pour prouver que deux ensembles sont égaux?
Bonne soirée

[_-Gaara-_]

Yop !
1 - Gr(a) = Intersection généralisée des sous groupes de I contenant a.
2 - Par double inclusion ^^
l'inclusion de droite vers la gauche je l'ai réussie ( un bébé la réussirait ) mais je n'arrive pas celle de gauche vers la droite :s

[_-Gaara-_]

ça n'inspire personne dites donc ??

[SimonB]

Montre que {x dans I tel que il existe k dans Z x=a^k} est un sous-groupe de I qui contient a et... réfléchis pour voir que cette affirmation suffit à conclure.

[leon1789]

Yop !
1 - Gr(a) = Intersection généralisée des sous groupes de I contenant a.

Ca, c'est la construction "théorique par le haut".
Il y a aussi une construction "pratique par le bas" : quels éléments appartiennent à tout sous-groupe de I contenant a ?


Arf, grillé par SimonB

[skilveg]

Leon, le but c'était justement de montrer que les deux constructions sont équivalentes. SimonB a donné la réponse.

[leon1789]

Leon, le but c'était justement de montrer que les deux constructions sont équivalentes.

oui, je sais bien, et tu remarqueras que l'énoncé n'est pas tout à fait symétrique dans cette équivalence :id: Pourquoi ?

SimonB a donné la réponse.

oui, je sais bien que SimonB a répondu avant... pour deux petites minutes. :we: