Exponentielle avec complexes :)

par **zazoo** » 23 Avr 2009, 07:56

Bonjour,
Je suis en train de réviser les complexes (rattrapage qui traîne...) et je pige pas trop une série d'exercices :
Il s'agit de trouver la partie entière et imaginaire de :

i^387 et de (i+1)^1000

Je me doute qu'il faut passer par la forme exponentielle ; pour le premier, ça donne

exp( i (387pi / 2))

Mais ça ne m'avance pas beaucoup...

Dans mon livre, ils passent de exp( i (387pi / 2)) à exp( i (296pi + pi/2)), puis passent par exp(i*296pi) = 0.
mais je n'ai aucune idée de la façon dont ils passent de la première à la deuxième exponentielle, ni pourquoi ils font exp(i*296pi) = 0 !

Si quelqu'un pouvait m'aider, je lui en serait très reconnaissant! Merci d'avance ;)

par **Euler 78** » 23 Avr 2009, 07:58

Il me semble que c'est de la Terminal ca, mais bon

par **zazoo** » 23 Avr 2009, 08:07

Ca fait 5 ans que j'ai quitté la terminale, c'est peut-être pour ça que je ne m'en rapelle plus ;) mais c'était bien au programme des mathématiques générale de ma première année d'ingé.

par **uztop** » 23 Avr 2009, 08:34

Bonjour,

oui, il faut bien passer par la forme exponentielle.

Pour passer à la deuxième exponentielle, l'idée est de séparer ce qui est en nombre entier de

qui va donner la partie réelle et ce qui est en fraction de

qui va donner la partie imaginaire.
La problème est que les calculs deviennent faux, on a 387/2 = 193+1/2 , c'est ça qu'il faut utiliser.
Quant à

, c'est faux ...
Comme tu te souviens peut être, l'exponentielle complexe est

périodique, autrement dit

avec k entier; on a donc

par **emdro** » 23 Avr 2009, 08:37

zazoo a écrit:
Dans mon livre, ils passent de exp( i (387pi / 2)) à exp( i (296pi + pi/2)), puis passent par exp(i*296pi) = 0.
mais je n'ai aucune idée de la façon dont ils passent de la première à la deuxième exponentielle, ni pourquoi ils font exp(i*296pi) = 0 !

Bonjour,

je ne sais pas trop ce qu'ils font dans ton livre. C'est bizarre!
Ce qu'il faut comprendre, c'est que comme

, si on ajoute

à

, on a un résultat inchangé.

Donc on cherche à retirer un nombre entier de fois

à

pour avoir un angle un peu plus acceptable.

(division euclidiennde de 387 par 4).
Donc

par **emdro** » 23 Avr 2009, 08:38

Et bien sûr, l'exponentielle n'est jamais nulle.

par **zazoo** » 23 Avr 2009, 18:42

Merci pour ta réponse emdro :) j'ai bien trouvé le bon résultat, mais j'ai juste une question : pourquoi tu fais la division euclidienne de 387 par 4 et pas par 2?

par **emdro** » 23 Avr 2009, 20:31

Bonsoir,

tu avais une fraction avec un dénominateur qui valait 2:

.

Si tu fais la division euclidienne par 2, tu auras

.

Mais cela n'est pas très intéressant, car notre période est

:

n'est pas un multiple de la période.

En divisant par 4, je m'assure d'avoir (compte tenu du dénominateur qui vaut 2) un multiple de

et non de

.

Si le dénominateur avait été 11, j'aurais divisé par 22.

par **zazoo** » 24 Avr 2009, 07:10

D'accord :) c'est un peu ce que je pensait, mais je voulais en être sûr (je préfère tout comprendre avant de dire que j'ai compris :) )

Merci beaucoup !

par **Black Jack** » 24 Avr 2009, 08:53

i^387 = i^(386+1) = (i²)^193 * i = (-1)^193 * i = -1 * i = -i

ou bien:

|i| = 1
arg(i) = Pi/2

|i^387| = 1^187 = 1
arg(i^387) = 387 * Pi/2 + 2kPi
arg(i^387) = 3Pi/2
i^387 = 1*e^(3Pi/2) = cos(3Pi/2) + i.sin(3Pi/2) = 0 - i = -i

:zen:

Exponentielle avec complexes :)

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