Bonsoir.
On se donne entiers strictement positifs et distincts et un polynôme de degré strictement plus petit que .
On se propose de calculer la somme de la série entière qui a pour terme général:
.
Voici ce que j'ai fait.
On considère la fraction rationnelle . D'après l'hypothèse faite sur , on peut directement faire la décomposition en éléments simples (pas de division euclidienne).
On a donc:
On trouve
Tout se ramène donc à regarder la somme des séries entières , où le terme général de la série est
.
On doit alors calculer
On pose
On a
soit et là soit auquel cas soit et dans ce cas et en intégrant d'où pour x non nul, pour . On a alors que pour x non nul donc
On somme ensuite tout cela sur
On a:
C'est là qu'il faut utiliser l'hypothèse selon laquelle les sont distincts: on a, quitte à réindicer les , que
On regarde d'abord le cas Alors dans la somme du deuxième terme, les termes en apparaissent p fois, les termes en apparaissent fois etc...
Si on commence à partir de mais la remarque précédente est plus pénible à mettre en forme.
Le cas se traite à partir de l'écriture initiale de la série.
J'ai oublié de préciser que le rayon de convergence de la série étudiée est 1.
Y a-t-il une méthode plus rapide pour arriver au résultat?
Et ce que j'ai fait est correct ou non?
Dans tous les cas félicitations de m'avoir lu jusqu'au bout!