Convergence d'une suite

par **Swann** » 17 Avr 2009, 18:45

bonjour,
j'ai un devoir maison a faire et je n'arrive meme pas a repondre a la premiere question. La voici :

etude de la suite (Un) définie sur N* par Un = (1 + 1/n)^n

une erreur serait de dire que "la suite est de la forme (a)^n avec a>1 et que par conséquent,elle a pour limite +l'infini.

1) montrer que la suite converge vers e.

je crois qu'il faut trouver la limite de Un en +l'infini sauf que quoi que je fasse je tombe sur 1...je vois pas comment trouver e.

merci de votre aide.

swann

par **Imod** » 17 Avr 2009, 19:10

Sans indication ça me paraît un peu difficile :doh: Tu peux toujours essayer de regarder

.

Imod

par **Cheche** » 17 Avr 2009, 19:30

En effet, souvent dans le cas de suite avec des puissances deux solutions :

- revenir à une suite géométrie : de la forme a^n
- utiliser le log pour revenir à une suite linéaire, ce qui est plus simple à étudier.

par **Swann** » 17 Avr 2009, 21:39

pourquoi faut il faire ln(Un) ?? je comprends pas vraiment...
je n'ai jamais vu ça :s

par **Imod** » 18 Avr 2009, 10:52

A mon avis , dans ton sujet il y a des indices que tu n'as pas vu ou que tu ne nous a pas dit car comme première question c'est un peu lourd :briques:

PS : en quelle section es-tu ?

Imod

par **Swann** » 18 Avr 2009, 18:05

non j'ai vraiment que ça au début..c'est la premiere question..

en dessous il y a juste marqué :
"savoir que la suite converge vers e est un renseignement interessant mais seulement qualitatif. nous allons essayer d'obenir des renseignements quantitatifs en encadrant les termes Un ou e-Un" mais ça se rapporte aux questions suivantes.

Je suis en terminale S spé maths, mais c'est un devoir d'obligatoire...elle a dit qu'il était assez dur.

ça me rassure de vous entendre dire que c'est balaise..je desperais là :(

je dois donc faire ln(Un) .?? mais vous pouvez m'expliquer pourquoi ?

par **Imod** » 18 Avr 2009, 18:14

est de la forme

avec

qui tend vers 0 mais je passe peut-être à côté d'une idée simple .

Imod

par **Swann** » 18 Avr 2009, 18:21

yuuum... je comprends décidément rien du tout :s

comment je peux me permettre de calculer la limite en +infini de ln(Un) pour trouver la convergence de Un ???
se sont deux trucs différents...non ?

et la limite de ln(1+x)/x quand x tend vers 0 c'est 1 non ?
pourtant je dois trouver e ...

:'(:'(:'(

par **Imod** » 18 Avr 2009, 18:42

Considère

, si tu arrives à montrer que

tend vers 1 , tu as montré au passage que

tend vers e .

Imod

par **Swann** » 18 Avr 2009, 18:47

ouawwwwww okk !!!!!

j'y aurais jamais pensé toute seule !

je pose Vn = ln(Un)

et j'obtiens ln(1+1/n) ^n
ms...comment je fais pour arriver à : ln(1+n/n) ....car ln(a)^n = nln(a) (si a>0) du coup la j'ai : Vn = nln(1+n/n) ... du coup ça tend vers n ...

oula...je m'embrouille nn ??

par **gilles3** » 18 Avr 2009, 18:50

Pour tout entier naturel

non nul,

Or,

, on va donc utiliser le fait que la fonction ln soit dérivable en 1:

, avec

.

On obtient

, donc

.

Comme la fonction exponentielle est continue sur R, on a

.

En remplaçant

par

, on obtient

.

Comme

pour tout entier naturel

non nul, on en déduit que

.

voilà (il y a d'autres démo possibles, en voici une)

par **Imod** » 18 Avr 2009, 18:57

Tu as l'air un peu fatigué , je te conseille de laisser reposer un peu :dodo:
Un indice quand même :

et

tend vers 0 quand

tend vers l'infini .

Imod

par **Swann** » 18 Avr 2009, 19:00

oula oui j'ai compris...
en effet j'étais partie un peu ailleurs la :s
ce devoir me prend la tete :( j'aime pas ne pas y arriver ! lol

mais merci beaucoup de votre aide, maintenant j'ai compris :)

Convergence d'une suite

Convergence d'une suite

Qui est en ligne