Exercice sur la loi normale

[Samir59]

Bonsoir, j'ai un exercice sur la loi normal à faire, et j'ai un peu de mal. Je bloque pour calculer l'esperance mathématique alors que habituellement je sais le faire, et pour la suite, je ne comprend strictement rien à la loi normal. Je ne suis pas là pour qu'on me fasse l'exercice et puis voilà mais aussi pour comprendre la loi normale.
Le voilà:

Une enquete réalisé par la sofres permet d’estimer que la probabilité qu’une lettre, choisie au hasard dans le courrier d’une entreprise, parvienne à son destinataire en France, le lendemain, est de 0.7.
A l’agence de marne la vallée d’une grande entreprise, on admet que l’on expédie 100 lettres par jour. On note X la variable aléatoire qui , à un jour tiré au hasard, associe le nombre de lettres qui parviendront à leur destinataire le lendemain. On suppose que les acheminement de ces lettres se font en tout indépendance.
1)a) Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
b) Calculer l’espérance mathématique de X, puis la valeur arrondie à l’entier le plus proche de l’écart type de X.
c) calculer la probabilité que 60 lettres exactement, sur les 100 expédiées un jour tiré au hasard, parviennent à leur destinataire le lendemain.
*********************60********* 28
Pour ce calcul, on prendra C = 1.375*10 .
******************** 100
(les étoiles ne correspondent à rien, c'est juste que je n'arrivait pas à écrire la probabilité de la variable)

2) On décide d’approcher la loi de la variable discrète X par la loi normale de paramètres m=70 et Ecart-type=55. On note y une variable aléatoire, suivant la loi normale N(70,5). En utilisant cette aproximation calculer :
a) la probabilité qu’au moins 80 des 100 lettres, expédies un jour tiré au hasard, parviennent à leur destinataire le lendemain, c’est-à-dire P(Y>=79.5)
b) la probabilité que le nombre de lettres, sur les 100 expédiées un jour choisi au hasard, parvenant leur destinataire, soit strictement compris entre 55 et 85, c’est à ditre :
P(55.5<=Y<=84.5)

Merci d'avance

[becirj]

Bonjour

L'espérance d'une loi binomiale se calcule très facilement avec
soit ici E(X)=100 x 0,7 =70.

2) On décide d’approcher la loi de la variable discrète X par la loi normale de paramètres m=70 et Ecart-type=55. On note y une variable aléatoire, suivant la loi normale N(70,5). En utilisant cette aproximation calculer :
a) la probabilité qu’au moins 80 des 100 lettres, expédies un jour tiré au hasard, parviennent à leur destinataire le lendemain, c’est-à-dire P(Y>=79.5)

Pour comprendre la loi normale, il faut bien voir la courbe en cloche de la loi normale centrée réduite T qui est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. L'aire totale comprise entre la courbe et l'axe des abscisses est égale à 1. La probabilité pour que T soit inférieure à un nombre t est représentée par l'aire entre la courbe et l'axe des abscisses, à gauche de la droite d'équation x=t mais on trouve ce nombre dans les tables.

Avec la loi normale, pour pouvoir utiliser les tables , il faut se ramener à la loi normale centrée réduite T en posant

b) la probabilité que le nombre de lettres, sur les 100 expédiées un jour choisi au hasard, parvenant leur destinataire, soit strictement compris entre 55 et 85, c’est à ditre :
P(55.5<=Y<=84.5)

Les 2 valeurs encadrant T sont opposées donc :
(car , étant donné la symétrie de la courbe, )

[Samir59]

Merci beaucoup!