Topologie dans Mn(K)

[yos]

Je propose cet exo d'ENS pas trop dur (pas trop évident non plus) :

Soit et l'ensemble des matrices de rang r de .
Déterminer l'intérieur et l'adhérence de ?

[Joker62]

Une matrice inversible est de rang maximal.
Donc M_r C Mn(K) \ GL(n) (en supposant r < n)

On note Int : opérateur intérieur, adh : Opérateur adhérence et Comp : opérateur Complémentaire

Int(M_r) C Int(Comp(GL_n)) = Comp(Adh(GL_n))
Par densité des matrices inversibles, on a Adh(GL_n) = Mn(K) et donc

Int(M_r) = Vide

Je réfléchis pour la suite :o

[Joker62]

Je rajoute que si r = n, alors M_r = GL_n(K) et donc c'est un ouvert dense.

[yos]

C'est bien vu.
Pour l'adhérence, il faut travailler un peu plus je pense.
Et comment montres-tu la densité des matrices inversibles dans Mn(K)?

[Nightmare]

Salut :happy3:

Très intéressant comme exercice. Voici ce que j'ai pour l'adhérence.

J'ai conjecturé que (que l'on va noté ).

Clairement cet ensemble est fermé. En effet, en considérant l'application qui à une matrice A associe son mineur de place (i,j) on a que le complémentaire de (ie l'ensemble des matrices de rang strictement supérieur à r) est la réunion des pour i et j dans {1,...,r}[/tex]
Il est donc ouvert et son complémentaire est par conséquent fermé.

est fermé et comme il contient , il contient sa fermeture.

Réciproquement, soit A de rang . A est équivalente à la matrice . Ie, on peut écrire

Il suffit de construire une suite de matrices de rang r dont A est limite.
On peut prendre par exemple la suite

:happy3:

[yos]

Bien vu Nightmare. J'ai fait exactement la même chose. Mais c'est la conjecture qui m'a pris le plus de temps.
Je ne vois pas de restriction sur le corps de base. Mais je garantis rien. Dans l'énoncé de la RMS, ils ont mis K=C (c'est ENS Lyon).

[Nightmare]

Non effectivement je ne vois pas de restriction non plus, toutes les propriétés utilisées sont vrais pour n'importe quel corps K (quelque soit sa caractéristique)

[Joker62]

Joli Joli :)

J'avais pas trouver de conjecture possible, donc impossible d'avancer :/
L'idée elle est venue comment ?

[Nightmare]

En regardant ce qu'il se passe pour le cas n=3 par exemple.

:happy3:

[Joker62]

Oui mais bon ça reste abstrait quand même :p

Pour les matrices inversibles dense dans M_n on se donne une matrice A quelconque
On pose r son rang

Et on dit qu'il existe P et Q inversible telle que A = P.I_r.Q avec I_r matrice unité de dimension n et de rang r

On pose A_n = P(I_r + 1/n.I_n)Q
Les A_n sont inversibles et tendent vers A

C'était le même genre de construction finalement :o

[yos]

C'était le même genre de construction finalement

C'est pour ça que je te posais la question.
C'est comme ça que l'idée du résultat m'est venu : en cherchant ce qui se passait pour r=n, j'ai eu l'impression que la preuve devait se généraliser, d'où la conjecture et presque immédiatement la démonstration.
L'autre truc qui m'a fait penser à ça c'est le résultat suivant :

Si dans L(E), il existe un rang à partir duquel .

Tiens au fait, ça se prouve comment?

[Joker62]

Je ne connaissais même pas cette propriété. :/

Suffit de prouver que Im(u) C Im(u_n) à partir d'un certain rang non ?

[barbu23]

Salut à tous : :happy3:
Mais vous ne precisez pas de quelle topologie il s'agit ( il faut choisir la plus simple puisque toutes les normes sont equivalentes ) :hein:
Amicalement ! :happy3:

[yos]

Mais vous ne precisez pas de quelle topologie il s'agit

Il n'y en a qu'une (qui fasse de E un evn).

il faut choisir la plus simple puisque toutes les normes sont equivalentes

Ne pas confondre norme et topologie. Comme tu le dis, toutes les normes sont equivalentes, c'est pourquoi on ne précise pas la norme. Tu peux utiliser la norme si tu veux voir de plus près les limites utilisées.

[leon1789]

Non effectivement je ne vois pas de restriction non plus, toutes les propriétés utilisées sont vrais pour n'importe quel corps K (quelque soit sa caractéristique)

Je veux bien m'occuper de K corps fini... :id:

En revanche , c'est "quelle que soit sa caractéristique".