Operateur compact

[sanaes]

bonjour,

soit E un espqce normé sur k.soit L(E) l'espace vectoriel normé des applications linéaires continues de E dans E.
1- Soit u une application linéaire de E dans E (pas forcément continue) ; on dit que u est compacte si pour toute partie bornée B de E ; u(B) est relativement compacte.
a) Montrer que si u est compacte, u est continue.
b) Montrer que u est compacte ssi pour toute suite xn de E, avec la norme de x inférieur ou égale à 1 pour tout n, il existe une suite extraite
c) Montrer que si la dimension de u(E) est finie, u est compacte.
d) Montrer que si u et v sont compactes, alors u+v est compacte, pour tout couple u,v d'éléments de L(E).
e) Montrer que si u,v,w sont des éléments de L(E) et si u est compacte, alors u o v o w est compacte.
Je voudrais que quelqu'un puisse m'aider à démontrer ces propriétés.
Merci :we:

[Nuwanda]

1) u(B) relativement compact => u(B) borné...

3) u restreint à un supplémentaire du noyau devient un isomorphisme vers u(E), donc ce supplémentaire est de dimension finie, donc u est continue...

Le reste ça devrait aller

[sanaes]

merci pour votre reponse :we: :we: :we: